2019-2020年高三数学二轮复习专题三第2讲数列求和及数列的综合应用教
案
自主学习导引
真题感悟
?1?
?的1．(xx·大纲全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，a5＝5，S5＝15，则数列?
?anan＋1?
前100项和为
A.
1009999101 B. C. D. 101101100100
解析 利用裂项相消法求和． 设等差数列{an}的首项为a1，公差为d. ∵a5＝5，S5＝15，
a1＋4d＝5，??∴?5×5－1
5ad＝15，1＋?2?
??a1＝1∴???d＝1，
，
∴an＝a1＋(n－1)d＝n.
11
＝－， nn＋1
∴
1
anan＋1n1
＝1n＋
∴数列{答案 A
111111100
}的前100项和为1－＋－＋…－＝1－＝. anan＋1223100101101101
2．(xx·浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝2n2＋n，n∈N＋，数列{bn}满足an＝4log2bn＋3，n∈N＋. (1)求an，bn；
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 解析 (1)由Sn＝2n2＋n，得 当n＝1时，a1＝S1＝3；
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝4n－1. 所以an＝4n－1，n∈N＋.
由4n－1＝an＝4log2bn＋3，得bn＝2n－1，n∈N＋.
(2)由(1)知anbn＝(4n－1)·2n－1，n∈N＋， 所以Tn＝3＋7×2＋11×22＋…＋(4n－1)·2n－1， 2Tn＝3×2＋7×22＋…＋(4n－5)·2n－1＋(4n－1)·2n，
所以2Tn－Tn＝(4n－1)2n－[3＋4(2＋22＋…＋2n－1)]＝(4n－5)2n＋5. 故Tn＝(4n－5)2n＋5，n∈N＋.
考题分析
数列的求和是高考的必考内容，可单独命题，也可与函数、不等式等综合命题，求解的过程体现了转化与化归的数学思想，解答此类题目需重点掌握几类重要的求和方法，并加以灵活应用．
网络构建
高频考点突破
考点一：裂项相消法求数列的前n项和
2
【例1】(xx·门头沟一模)数列{an}的前n项和Sn＝n＋1.
(1)求数列{an}的通项公式； (2)设bn＝
1
(n∈N＋)，求数列{bn}的前n项和Tn.
an·an＋1
??S1，n＝1，
[审题导引] (1)运用公式an＝?
?Sn－Sn－1，n≥2，?
求an，注意n＝1时通项公式an；
(2)裂项法求和．
[规范解答] (1)由已知，当n＝1时，a1＝S1＝2， 当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n－1，
??2， n＝1，
∴数列{an}的通项公式为an＝?
?2n－1， n≥2.?
(2)由(1)知，
1
??6， n＝1，b＝?1?11?1
－＝??， n≥2，??n－n＋2?2n－12n＋1?
n
1
当n＝1时，T1＝b1＝，
6当n≥2时，Tn＝b1＋b2＋…＋bn
11?111?11111－＝＋?－＋－＋…＋＝－， ?2n－12n＋1?34n＋262?355711
∴{bn}的前n项和Tn＝－.
34n＋2
【规律总结】
常用的裂项技巧和方法
用裂项相消法求和是最难把握的求和问题之一，其原因是有时很难找到裂项的方向．突破这类问题的方法是根据式子的结构特点，掌握一些常见的裂项技巧，如：
1?11?1
(1)＝?－?； nn＋kk?nn＋k?
(2)
1
m－1
mn＋k＋nkm1
＝(n＋k－n)；
(3)Cn＝Cn＋1－Cn；
(4)n·n！＝(n＋1)！－n！等．
[易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题，容易出现的错误有两个方面： (1)裂项过程中易忽视常数，如
1nn＋
111
容易误裂为－，漏掉前面的系数；
nn＋22
(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题，导致计算结果错误． 【变式训练】
1．(xx·大连模拟)已知函数f(x)＝(1)求数列{an}的通项公式an；
1n(2)若数列{bn}满足bn＝anan＋1·3，Sn＝b1＋b2＋…＋bn，求Sn.
213，∴＝＋1. an＋3an＋1an11?11?113∴＋＝3?＋?，并且＋＝， an＋12?an2?a122
?11?3
∴数列?＋?为以为首项，3为公比的等比数列，
2?an2?解析 (1)由已知，an＋1＝
xx＋3
，数列{an}满足a1＝1，an＋1＝f(an)(n∈N＋)．
an113n－12∴＋＝·3，∴an＝n. an223－1
n2·311
(2)bn＝n＝n－n＋1， n＋1
－－3－13－1∴Sn＝b1＋b2＋…＋bn ＝
111111
－2＋…＋n－n＋1＝－n＋1. 3－13－13－13－123－1
考点二：错位相减法求数列的前n项和
【例2】(xx·滨州模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知an＋1＝2Sn＋2(n∈N＋)． (1)求数列{an}的通项公式；
?1?
(2)在an与an＋1之间插入n个数，使这n＋2个数组成公差为dn的等差数列，求数列??的前n?dn?
项和Tn.
[审题导引] (1)利用递推式消去Sn可求an；
?1?
(2)利用错位相减法求数列??的前n项和．
?dn?
[规范解答] (1)由an＋1＝2Sn＋2(n∈N＋)， 得an＝2Sn－1＋2(n∈N＋，n≥2)， 两式相减得an＋1－an＝2an， 即an＋1＝3an(n∈N＋，n≥2)， 又a2＝2a1＋2，
∵{an}是等比数列，所以a2＝3a1， 则2a1＋2＝3a1，
∴a1＝2，∴an＝2·3n－1.
(2)由(1)知an＋1＝2·3，an＝2·3.
n－1
4×3
∵an＋1＝an＋(n＋1)dn，∴dn＝，
n＋1
1111
令Tn＝＋＋＋…＋，
nn－1
d1d2d3dn234n＋10＋1＋2＋…＋n－1① 4×34·34·34·3
123nn＋1Tn＝1＋2＋…＋n－1＋n② 34·34·34·34·3
22111n＋1
①－②得Tn＝0＋1＋2＋…＋n－1－n
34·34·34·34·34·3则Tn＝
1?1?1－n－1??
113?3?n＋152n＋5＝＋×－n＝－n. 2414·388·3
1－3【规律总结】
错位相减法的应用技巧
(1)设数列{an}为等差数列，数列{bn}为等比数列，求数列{anbn}的前n项和可用错位相减法． 应用错位相减法求和时需注意：
(2)①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零，否则需讨论； ②在转化为等比数列的和后，求其和时需看准项数，不一定为n.
【变式训练】
2．已知等差数列{an}满足：an＋1＞an(n∈N＋)，a1＝1，该数列的前三项分别加上1、1、3后顺次成为等比数列{bn}的前三项． (1)求数列{an}，{bn}的通项公式；
a1a2an2n＋31
(2)设Tn＝＋＋…＋(n∈N＋)，若Tn＋n－＜c(c∈Z)恒成立，求c的最小值．
b1b2bn2n解析 (1)设d、q分别为数列{an}的公差、数列{bn}的公比．
由题意知，a1＝1，a2＝1＋d，a3＝1＋2d，分别加上1、1、3得2、2＋d、4＋2d， ∴(2＋d)2＝2(4＋2d)，∴d＝±2. ∵an＋1＞an，∴d＞0，∴d＝2， ∴an＝2n－1(n∈N＋)，
由此可得b1＝2，b2＝4，∴q＝2，∴bn＝2n(n∈N＋)．
a1a2an1352n－1
(2)Tn＝＋＋…＋＝＋2＋3＋…＋n，①
b1b2bn222211352n－1∴Tn＝2＋3＋4＋…＋n＋1.② 22222
1111112n－1
由①－②得Tn＝＋＋2＋3＋…＋n－1－n＋1. 222222211－n－1
22n－112n－12n＋3
∴Tn＝1＋－n＝3－n－2－n＝3－n，
122221－
2
2n＋311
∴Tn＋n－＝3－＜3.
2nn
2019-2020年高三数学二轮复习专题三第2讲数列求和及数列的综合应用教案
