2019-2020年高三数学二轮复习专题三第2讲数列求和及数列的综合应用教
案
自主学习导引
真题感悟
?1?
?的1.(xx·大纲全国卷)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,a5=5,S5=15,则数列?
?anan+1?
前100项和为
A.
1009999101 B. C. D. 101101100100
解析 利用裂项相消法求和. 设等差数列{an}的首项为a1,公差为d. ∵a5=5,S5=15,
a1+4d=5,??∴?5×5-1
5ad=15,1+?2?
??a1=1∴???d=1,
,
∴an=a1+(n-1)d=n.
11
=-, nn+1
∴
1
anan+1n1
=1n+
∴数列{答案 A
111111100
}的前100项和为1-+-+…-=1-=. anan+1223100101101101
2.(xx·浙江)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn=2n2+n,n∈N+,数列{bn}满足an=4log2bn+3,n∈N+. (1)求an,bn;
(2)求数列{an·bn}的前n项和Tn. 解析 (1)由Sn=2n2+n,得 当n=1时,a1=S1=3;
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=4n-1. 所以an=4n-1,n∈N+.
由4n-1=an=4log2bn+3,得bn=2n-1,n∈N+.
(2)由(1)知anbn=(4n-1)·2n-1,n∈N+, 所以Tn=3+7×2+11×22+…+(4n-1)·2n-1, 2Tn=3×2+7×22+…+(4n-5)·2n-1+(4n-1)·2n,
所以2Tn-Tn=(4n-1)2n-[3+4(2+22+…+2n-1)]=(4n-5)2n+5. 故Tn=(4n-5)2n+5,n∈N+.
考题分析
数列的求和是高考的必考内容,可单独命题,也可与函数、不等式等综合命题,求解的过程体现了转化与化归的数学思想,解答此类题目需重点掌握几类重要的求和方法,并加以灵活应用.
网络构建
高频考点突破
考点一:裂项相消法求数列的前n项和
2
【例1】(xx·门头沟一模)数列{an}的前n项和Sn=n+1.
(1)求数列{an}的通项公式; (2)设bn=
1
(n∈N+),求数列{bn}的前n项和Tn.
an·an+1
??S1,n=1,
[审题导引] (1)运用公式an=?
?Sn-Sn-1,n≥2,?
求an,注意n=1时通项公式an;
(2)裂项法求和.
[规范解答] (1)由已知,当n=1时,a1=S1=2, 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-1,
??2, n=1,
∴数列{an}的通项公式为an=?
?2n-1, n≥2.?
(2)由(1)知,
1
??6, n=1,b=?1?11?1
-=??, n≥2,??n-n+2?2n-12n+1?
n
1
当n=1时,T1=b1=,
6当n≥2时,Tn=b1+b2+…+bn
11?111?11111-=+?-+-+…+=-, ?2n-12n+1?34n+262?355711
∴{bn}的前n项和Tn=-.
34n+2
【规律总结】
常用的裂项技巧和方法
用裂项相消法求和是最难把握的求和问题之一,其原因是有时很难找到裂项的方向.突破这类问题的方法是根据式子的结构特点,掌握一些常见的裂项技巧,如:
1?11?1
(1)=?-?; nn+kk?nn+k?
(2)
1
m-1
mn+k+nkm1
=(n+k-n);
(3)Cn=Cn+1-Cn;
(4)n·n!=(n+1)!-n!等.
[易错提示] 利用裂项相消法解决数列求和问题,容易出现的错误有两个方面: (1)裂项过程中易忽视常数,如
1nn+
111
容易误裂为-,漏掉前面的系数;
nn+22
(2)裂项之后相消的过程中容易出现丢项或添项的问题,导致计算结果错误. 【变式训练】
1.(xx·大连模拟)已知函数f(x)=(1)求数列{an}的通项公式an;
1n(2)若数列{bn}满足bn=anan+1·3,Sn=b1+b2+…+bn,求Sn.
213,∴=+1. an+3an+1an11?11?113∴+=3?+?,并且+=, an+12?an2?a122
?11?3
∴数列?+?为以为首项,3为公比的等比数列,
2?an2?解析 (1)由已知,an+1=
xx+3
,数列{an}满足a1=1,an+1=f(an)(n∈N+).
an113n-12∴+=·3,∴an=n. an223-1
n2·311
(2)bn=n=n-n+1, n+1
--3-13-1∴Sn=b1+b2+…+bn =
111111
-2+…+n-n+1=-n+1. 3-13-13-13-123-1
考点二:错位相减法求数列的前n项和
【例2】(xx·滨州模拟)设等比数列{an}的前n项和为Sn,已知an+1=2Sn+2(n∈N+). (1)求数列{an}的通项公式;
?1?
(2)在an与an+1之间插入n个数,使这n+2个数组成公差为dn的等差数列,求数列??的前n?dn?
项和Tn.
[审题导引] (1)利用递推式消去Sn可求an;
?1?
(2)利用错位相减法求数列??的前n项和.
?dn?
[规范解答] (1)由an+1=2Sn+2(n∈N+), 得an=2Sn-1+2(n∈N+,n≥2), 两式相减得an+1-an=2an, 即an+1=3an(n∈N+,n≥2), 又a2=2a1+2,
∵{an}是等比数列,所以a2=3a1, 则2a1+2=3a1,
∴a1=2,∴an=2·3n-1.
(2)由(1)知an+1=2·3,an=2·3.
n-1
4×3
∵an+1=an+(n+1)dn,∴dn=,
n+1
1111
令Tn=+++…+,
nn-1
d1d2d3dn234n+10+1+2+…+n-1① 4×34·34·34·3
123nn+1Tn=1+2+…+n-1+n② 34·34·34·34·3
22111n+1
①-②得Tn=0+1+2+…+n-1-n
34·34·34·34·34·3则Tn=
1?1?1-n-1??
113?3?n+152n+5=+×-n=-n. 2414·388·3
1-3【规律总结】
错位相减法的应用技巧
(1)设数列{an}为等差数列,数列{bn}为等比数列,求数列{anbn}的前n项和可用错位相减法. 应用错位相减法求和时需注意:
(2)①给数列和Sn的等式两边所乘的常数应不为零,否则需讨论; ②在转化为等比数列的和后,求其和时需看准项数,不一定为n.
【变式训练】
2.已知等差数列{an}满足:an+1>an(n∈N+),a1=1,该数列的前三项分别加上1、1、3后顺次成为等比数列{bn}的前三项. (1)求数列{an},{bn}的通项公式;
a1a2an2n+31
(2)设Tn=++…+(n∈N+),若Tn+n-<c(c∈Z)恒成立,求c的最小值.
b1b2bn2n解析 (1)设d、q分别为数列{an}的公差、数列{bn}的公比.
由题意知,a1=1,a2=1+d,a3=1+2d,分别加上1、1、3得2、2+d、4+2d, ∴(2+d)2=2(4+2d),∴d=±2. ∵an+1>an,∴d>0,∴d=2, ∴an=2n-1(n∈N+),
由此可得b1=2,b2=4,∴q=2,∴bn=2n(n∈N+).
a1a2an1352n-1
(2)Tn=++…+=+2+3+…+n,①
b1b2bn222211352n-1∴Tn=2+3+4+…+n+1.② 22222
1111112n-1
由①-②得Tn=++2+3+…+n-1-n+1. 222222211-n-1
22n-112n-12n+3
∴Tn=1+-n=3-n-2-n=3-n,
122221-
2
2n+311
∴Tn+n-=3-<3.
2nn
2019-2020年高三数学二轮复习专题三第2讲数列求和及数列的综合应用教案
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