精品文档
中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年
全国初中数学竞赛试题
一、选择题（共5小题，每小题7分，共35分）
1．如果实数a，b，c在数轴上的位置如图所示，那么代数式． a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|可以化简为（ ）
（第1题图） （A） （B） （C） （D）a
b2．如果正比例函数y = ax（a ≠ 0）与反比例函数y =（b ≠0 ）的图象有两个交点，
x其中一个交点的坐标为（－3，－2），那么另一个交点的坐标为（ ）．
（A）（2，3） （B）（3，－2） （C）（－2，3） （D）（3，2）
3．如果a，b为给定的实数，且1?a?b，那么1，a?1， 2a?b，a?b?1这四个数据的平均数与中位数之差的绝对值是（ ）． （A）1 （B）
112a?1 （C） （D）
2444．小倩和小玲每人都有若干面值为整数元的人民币．小倩对小玲说：“你若给我2元，我的钱数将是你的n倍”；小玲对小倩说：“你若给我n元，我的钱数将是你的2倍”，其中n为正整数，则n的可能值的个数是（ ）．
（A）1 （B）2 （C）3 （D）4
5．一枚质地均匀的正方体骰子的六个面上的数字分别是1，2，3，4，5，6．掷两次骰子，设其朝上的面上的两个数字之和除以4的余数分别是0，1，2，3的概率为p0，p1，p2，p3，则p0，p1，p2，p3中最大的是（ ）．
（A）p0 （B）p1 （C）p2 （D）p3 精品文档
精品文档
二、填空题（共5小题，每小题7分，共35分）
6．按如图的程序进行操作，规定：程序运行从“输入一个值x”到“结果是否>487？”为一次操作. 如果操作进行四次才停止，那么x的取值范围是 .
（第7题图） 7．如图，正方形ABCD的边长为215，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE，DB分别交于点M，N，则△DMN的面积是 .
x3298．如果关于x的方程x+kx+k－3k+= 0的两个实数根分别为x1，x2，那么12012 的
24x22
2011值为 ．
9．2位八年级同学和m位九年级同学一起参加象棋比赛，比赛为单循环，即所有参赛者彼此恰好比赛一场．记分规则是：每场比赛胜者得3分，负者得0分；平局各得1分. 比赛结束后，所有同学的得分总和为130分，而且平局数不超过比赛局数的一半，则m的值为 .
10．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB是直径，AD = DC. 分别延长BA，CD，交点为E. 作BF⊥EC，并与EC的延长线交于点F. 若AE = AO，BC = 6，则CF的长为 .
三、解答题（共4题，每题20分，共80分）
（第10题图） （m?3）x?m?2，当?1?x?3时，恒有y?0；关于x的方11．已知二次函数y?x?2（m?3）x?m?2?0的两个实数根的倒数和小于?程x?
29．求m的取值范围． 10精品文档
精品文档
12．如图，⊙O的直径为AB，⊙O 1过点O，且与⊙O内切于点B．C为⊙O上的点，OC与⊙O 1交于点D，且OD?CD．点E在OD上，且DC?DE，BE的延长线与⊙O 1交于点F，求证：△BOC∽△DO1F．
13．已知整数a，b满足：a－b是素数，且ab是完全平方数. 当a≥2012时，求a的最小值.
14．求所有正整数n，使得存在正整数x1，x2， ，x2012，满足x1?x2?（第12题图） ?x2012，且
12??x1x2
?2012?n. x2012精品文档
精品文档
中国教育学会中学数学教学专业委员会2012年
全国初中数学竞赛试题参考答案
一、选择题 1．C
解：由实数a，b，c在数轴上的位置可知
b?a?0?c，且b?c，
所以 a2?|a?b|?(c?a)2?|b?c|??a?(a?b)?(c?a)?(b?c)??a．
2．D
解：由题设知，?2?a?(?3)，(?3)?(?2)?b，所以a?，b?6.
23?y???解方程组??y???2x，?x??3，?x?3，3得? ?
y??2；y?2.6?，?x所以另一个交点的坐标为（3，2）.
注：利用正比例函数与反比例函数的图象及其对称性，可知两个交点关于原点对称，因此另一个交点的坐标为（3，2）.
3．D
解：由题设知，1?a?1?a?b?1?2a?b，所以这四个数据的平均数为
1?(a?1)?(a?b?1)?(2a?b)3?4a?2b， ?44(a?1)?(a?b?1)4?4a?2b中位数为 ， ?244?4a?2b3?4a?2b1于是 ??.
4444．D
解：设小倩所有的钱数为x元、小玲所有的钱数为y元，x，y均为非负整数. 由题设可得
?x?2?n(y?2)， ?y?n?2(x?n)，?消去x得 (2y－7)n = y+4，
精品文档
精品文档
2n =
(2y?7)?1515?1?.
2y?72y?7因为
15为正整数，所以2y－7的值分别为1，3，5，15，所以y的值只能为4，5，
2y?76，11．从而n的值分别为8，3，2，1；x的值分别为14，7，6，7．
5．D
解：掷两次骰子，其朝上的面上的两个数字构成的有序数对共有36个，其和除以4的余数分别是0，1，2，3的有序数对有9个，8个，9个，10个，所以
p0?
98910，p1?，p2?，p3?，因此p3最大． 36363636二、填空题
6．7＜x≤19
解：前四次操作的结果分别为
3x－2，3(3x－2)－2 = 9x－8，3(9x－8)－2 = 27x－26，3(27x－26)－2 = 81x－80.
由已知得 27x－26≤487， 81x－80＞487.
解得 7＜x≤19.
容易验证，当7＜x≤19时，3x?2≤487 9x?8≤487，故x的取值范围是 7＜x≤19．
7．8
解：连接DF，记正方形ABCD的边长为2a. 由题设易知△BFN∽△DAN，所以
ADANDN2???， BFNFBN12由此得AN?2NF，所以AN?AF.
3
在Rt△ABF中，因为AB?2a，BF?a，所以
AF?AB2?BF2?5a，
（第7题） 于是 cos?BAF?AB25. ?AF5由题设可知△ADE≌△BAF，所以 ?AED??AFB，
?AME?1800??BAF??AED?1800??BAF??AFB?90. 精品文档
最新全国初中数学竞赛试题(含答案)
