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. 第七章 假设检验
设总体??N(?,?2)，其中参数?，?2为未知，试指出下面统计假设中哪些是简单假设，哪些是复合假设：
（1）H0:??0,??1； （2）H0:??0,??1； （3）H0:??3,??1； （4）H0:0???3； （5）H0:??0.
解：（1）是简单假设，其余位复合假设 设?1,?2,,?25取自正态总体N(?,9)，其中参数?未知，x是子样均值，如对检
,x25):|x??0|?c}，
验问题H0:???0,H1:???0取检验的拒绝域：c?{(x1,x2,试决定常数c，使检验的显著性水平为 解：因为??N(?,9)，故??N(?,在H0成立的条件下，
P0(|???0|?c)?P(|???035c|?)53
5c???2?1??()??0.053??9) 25?(5c5c)?0.975,?1.96，所以c=。 332)，?02已知，对假设检验,?25取自正态总体N(?,?0 设子样?1,?2,H0:???0,H1:???0，取临界域c?{(x1,x2,,xn):|??c0}，
（1）求此检验犯第一类错误概率为?时，犯第二类错误的概率?，并讨论它们之间的关系；
（2）设?0=，?02=，?=，n=9，求?=时不犯第二类错误的概率。 解：（1）在H0成立的条件下，??N(?0,?02n)，此时
????0?c??0n?0n? ??P0(??c0)?P0??0??0?1
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所以，c0??0?0n??1??，由此式解出c0??0n?1????0
在H1成立的条件下，??N(?,?02n)，此时
??P1(??c0)?P1?c0????????0n?c0???0?n??n)
?0??(?0n)??(n?1????0???0??(?1??????0n)?0由此可知，当?增加时，?1??减小，从而?减小；反之当?减少时，则?增加。 （2）不犯第二类错误的概率为
1???1??(?1???
???0n)?00.65?0.50 3)0.2?1??(?0.605)??(0.605)?0.7274?1??(?0.95?
设一个单一观测的?子样取自分布密度函数为f(x)的母体，对f(x)考虑统计假设：
?10?x?1H0:f0(x)???0其他?2x0?x?1H1:f1(x)??
0其他?试求一个检验函数使犯第一，二类错误的概率满足??2??min，并求其最小值。 解 设检验函数为
?1x?c?(x)??（c为检验的拒绝域）
0其他?2
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??2??P0(x?c)?2P1(x?c)?P0(x?c)?2[1?P1(x?c)]?E0?(x)?2[1?E1?(x)]11
???(x)dx?2(1??2x?(x)dx)001?2??(1?4x)?(x)dx0要使??2??min，当1?4x?0时，?(x)?0 当1?4x?0时，?(x)?1
1?1x?1?7?4所以检验函数应取?(x)??，此时，??2??2??(1?4x)dx?。
80?0x?1??4 设某产品指标服从正态分布，它的根方差?已知为150小时。今由一批产品中随机抽取了26个，测得指标的平均值为1637小时，问在5%的显著性水平下，能否认为该批产品指标为1600小时?
解 总体??N(?,1502)，对假设，H0:??1600，采用U检验法，在H0为真时，检验统计量
u?x-?0?0n?1.2578
临界值u1??/2?u0.975?1.96
|u|?u1??/2，故接受H0。
某电器零件的平均电阻一直保持在?，根方差保持在?，改变加工工艺后，测得100个零件，其平均电阻为?，根方差不变，问新工艺对此零件的电阻有无显著差异？去显著性水平?=。
解 设改变工艺后电器的电阻为随机变量?，则E???未知，D??(0.06)2， 假设为 H0:??2.64，统计量 u??-?0n??3.33 ?3
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由于u1-?/2?u0.995?2.10?|u|，故拒绝原假设。即新工艺对电阻有显著差异。 （1）假设新旧安眠药的睡眠时间都服从正态分布，旧安眠剂的睡眠时间
?N(20.8，1.82),新安眠剂的睡眠时间?N(?，?2)，为检验假设
H0:??23.8H1:??23.8
从母体?取得的容量为7的子样观察值计算得
*2?5.27 x?24.2 sn由于
?的方差?2
未知，可用t检验。
x??024.2?23.8t?n?7?0.461 *sn5.27取a?0.10 t0,10(7?1)??1.4398?t
所以不能否定新安眠药已达到新的疗效的说法。
（2）可以先检验新的安眠剂睡眠时间?的方差是否与旧的安眠剂睡眠时间?的方差一致，即检验假设
H0:?2?(1.8)2。
用?-检验，
2??2*2(n?1)sn?226?5.27??9.76。 2(1.8)2取?=0.10，?0.06(6)=1.635，?0.05(6)=12.592
22?0.06(6)??2??0.05(6)
所以接受H0,不能否认?和?方差相同。如认为?的方差?2
u?24.2?23.87?0.18
1.8取?=0.10，u0.10
4
??1.27,u?u0.10，所以接受H0。
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有甲乙两个检验员，对同样的试样进行分析，各人实验分析的结果如下： 实验号 1 2 3 4 5 6 7 8 甲 乙 8 试问甲乙两人的实验分析之间有无显著差异？
解 此问题可以归结为判断??x1?x2是否服从正态分布N(0,?2)，其中?2未知，即要检验假设H0:??0。 由t检验的统计量 t????0*snn?0.1?08??0.389
0.727取?=，又由于，t0.95(7)?1.8946?|t|，故接受H0
某纺织厂在正常工作条件下，平均每台布机每小时经纱断头率为根，每台布机的平均断头率的根方差为根，该厂作轻浆试验，将轻纱上浆率减低20%，在200台布机上进行实验，结果平均每台每小时轻纱断头次数为根，根方差为，问新的上浆率能否推广？取显著性水平。
解 设减低上浆率后的每台布机断头率为随机变量?，有子样试验可得其均值和方差的无偏估计为及s*2n??0.16?，问新上浆率能否推广就要分析每台布机的平均断头率是否增大，即要检验
H0:E??0.973?H1:E??0.973
2由于D?未知，且n较大，用t检验，统计量为
t????0*snn?0.994?0.973200?1.856
0.16查表知t0.95(199)?1.645，故拒绝原假设，不能推广。
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概率论与数理统计教程魏宗舒第七章答案汇总
