3.【湖南省长沙一中2020学年高三第八次月考数学（文科）21．】（本小题满分13分）如图，在矩形ABCD中，已知A（2，0）、C（－2，2），点P在BC边上移动，线段OP的垂直平分线交y轴于点E，点M满足EM?EO?EP. （Ⅰ）求点M的轨迹方程；
1（Ⅱ）已知点F（0，2），过点F的直线l交点M的轨迹于Q、
R两点，且QF??FR,求实数?的取值范围.
【解析】：（I）依题意，设P（t,2）（－2≤t≤2），M（x，y）. 当t=0时，点M与点E重合，则M=（0，1）；
y?1??t(xt当t≠0时，线段OP的垂直平分线方程为：
2?2). 得y?t2令x?0,?4t2?44,即E(0,4)由EM?EO?EP得(x,y?t2?44)?(0,?t2?44)?(t,2?t2?44)?x???t?t2?4.消去t,得x2??4(y?1) ??y?2?4
显然，点（0，1）适合上式 .故点M的轨迹方程为x2=－4(y－1)( －2≤x≤2)
l:y?kx?1(?1?k?1),代入x2??4(y（II）设244?1),得x2+4k－2=0.
????16k2?8?0?x1?x2??4k? 设Q（x1,y1）、R（x2,y2），则?x1x2??2
?(1??,得x??)x2??4k(1??)2?8k2QF??FR21???x2,???x2??2.消去x2，得?.
1(1??)211?0?k?,?0??,即2?2?5??2?0(??0).???216?22解得
24. 【湖北省2020届高三八校联考第二次（理）21.】（本小题满分14分）已知数列
?an?中，
a1?3，a2?5，其前n项和Sn满足Sn?Sn?2?2Sn?1?2（Ⅰ）求数列
n?1?n≥3?.令
bn?1an?an?1.
?an?的通项公式；
x?1（Ⅱ）若
f?x??2，求证：
Tn?b1f?1??b2f?2??L?bnf?n??16（n≥1）；
（Ⅲ）令
Tn?1b1a?b2a2?b3a3?L?bnan??2（a?0），求同时满足下列两个条件的所有a?1?1m?Tn??0,??n?N6??n06的值：①对于任意正整数，都有；②对于任意的，均存在，使得n≥n0时，Tn?m.
【解】（Ⅰ）由题意知∴
Sn?Sn?1?Sn?1?Sn?2?2n?1?n≥3?
即
an?an?1?2n?1?n≥3?……1′
an??an?an?1???an?1?an?2??L??a3?a2??a2?2n?1?2n?2?L?22?5?2n?1?2n?2?L?22?2?1?2?2n?1?n≥3?na?2?1.…………3′ n?1n2检验知、时，结论也成立，故
……2′
（Ⅱ）由于故
n?1n2?1?2?1?1?1???111?n?1bnf?n??n?2??????2?2n?1??2n?1?1?2?2n?12n?1?1??2?1??2n?1?1?
Tn?b1f?1??b2f?2??L?bnf?n??1??11??22???1?21?21?1????1?1???L?????n??23?n?1??1?21?2??2?12?1??
1?11?111???n?1????2?1?22?1?21?26.…………6′
（Ⅲ）（ⅰ）当a?2时，由（Ⅱ）知：
Tn?110?m?6，即条件①满足；又6，
1?11?3?3?Tn?m???n?1??m?2n?1??1?n?log2??1??1?02?1?22?1?1?6m?1?6m?∴. ?3?log2??1??1?6m?的最大整数，则当n≥n0时，Tn?m.…9′ 取n0等于不超过
an?a?aaaa?≥bn?an≥bn??2n??bn?2nan≥?2n??n2，?2?222（ⅱ）当a?2时，∵n≥1，2∴，∴.
na1?11??1i?anTn???bia?≥??bi?2i?1?????n?1?22?1?22?1?. ?2i?1i?1?2∴
1?11?1?????n?1n?Nn≥n21?22?1??3a， 0时，由（ⅰ）知存在0，当
Tn?a1?11?a11???n?1????22?1?22?1?23a6，不满足条件. …12′
nn故存在n0?N，当n≥n0时，
?an?a?aa?≤an≤?2n??n2，∴?2?2（ⅲ）当0?a?2时，∵n≥1，2，∴
aabn?an≤bn??2n??bn?2n22.
n1aa1?11?iTn???bia?≤??bi2i?1?????n?1?22?1?22?1?. i?12i?12∴
nm?取
a?1?a1?11?a??0,????n?1???n?Nn≥nT?m12?6?，若存在00时，n，当，则22?1?22?1?12.
111?n?1??T?mn?N01?22?13∴矛盾. 故不存在，当n≥n0时，n.不满足条件.
综上所述：只有a?2时满足条件，故a?2.…………14′
5.【河南省普通高中2020年高中毕业班教学质量调研考试（文）22.】（本小题满分12分）已知点A是抛物线y2＝2px（p>0）上一点，F为抛物线的焦点，准线l与x轴交于点K，已知｜AK｜＝2｜AF｜，三角形AFK的面积等于8．
（1）求p的值；
（2）过该抛物线的焦点作两条互相垂直的直线l1，l2，与抛物线相交得两条弦，两条弦 的中点分别为G，H.求｜GH｜的最小值．
【解析】：22．解：（Ⅰ）设
A?x0,y0?，
p?p??p?F?,0?,准线l的方程为：x??,K??,0?,作AM?l于M2?2?因为抛物线的焦点?2?，
则
AM?x0?p?AF,2.……………………………1分
，………2分
又AK?2AF得AK?2AM，即?AKM为等腰直角三角形pp??KM?AM?x0?,?y0?x0?,即A?x0,x0?22?2p??2?，而点A在抛物线上，
p?p??p???x0???2px0,?x0?,于是A?,p?.2?2??2?.……………………………………4分 QS?AFK11p2?KF?y0??p?p??8,?p?4.2y?8x.6分 222故所求抛物线的方程为
又
2y?8x，得F(2,0)，显然直线l1，l2的斜率都存在且都不为0. （2）由
1y??(x?2)k设l1的方程为y?k(x?2)，则l2的方程为.
?y2?8x,44?G(2?,)22y?k(x?2),H(2?4k,?4k).……………8分 ?kk 由 得，同理可得
GH?(则
24422?4k)?(?4k)k2k
16(k4?=
11122?k?)k?k4k2?64.（当且仅当k2时取等号）
2020年高考全国课标百所名校高三数学压轴题精选(含答案及解析)
