2020年高考全国百所名校数学压轴题精选
AAA. 【青岛市2020年高三教学统一质量检测（理）22．】（本小题
满分14分）已知等比数列?an?的前n项和为Sn?2?3n?k(k?R,n?N?) （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
Tn为数列?bn? 的前n项和，（Ⅱ）设数列?bn?满足an?4(5?k)anbn，试比较3?16Tn
与 4(n?1)bn?1的大小，并证明你的结论．
【解析】：（Ⅰ）由Sn?2?3n?k(k?R,n?N?)得:n?2时，
an?Sn?Sn?1?4?3n?1………………………2分
Q?an?是等比数列，?a1?S1?6?k?4?k??2，得 an?4?3n?1(n?N?)……4分
（Ⅱ）由an?4(5?k)anbnn?1和an?4?3得bn?n?1……………………6分 n?14?3?Tn?b1?b2?b3?Lbn?1?bn?12n?2n?1??L??L(1)4?34?324?3n?24?3n?1
123n?2n?13Tn????L??LLL(2)44?34?324?3n?34?3n?211111n?1 ???L???2n?3n?2n?144?34?34?34?34?311111n?132n?1……10分 ?Tn????L?????2n?3n?2n?1n?188?38?38?38?38?31616?3n(n?1)2n?1n(n?1)?3(2n?1) 4(n?1)bn?1?(3?16Tn)??n?1?3n33n?(2)?(1):2Tn?Qn(n?1)?3(2n?1)?n2?5n?3………………………11分 ?当n?5?375?37?0时有n(n?1)?3(2n?1)，所以当n?5(n?N?)时有或n?223?16Tn?4(n?1)bn?1
5?375?37?n?22那么同理可得：当时有n(n?1)?3(2n?1)，所以当
?1?n?5(n?N)时有3?16Tn?4(n?1)bn?1………………………13分
??3?16Tn?4(n?1)bn?1(n?N)(n?N)时有n?51?n?5综上：当时有；当
3?16Tn?4(n?1)bn?1
………………………14分
x2y2C1:2?2?1(a?b?0)ab.【皖东十校09届第一次联考试卷数学（理）22】已知椭圆的离3C心率为3，直线l:y?x?2与以原点为圆心、以椭圆1的短半轴长为半径的圆相切.
（I）求椭圆
C1的方程； 的左焦点为
（II）设椭圆
C1F1，右焦点
F2l，直线1过点
lF1且垂直于椭圆的长轴，动直
线2垂直1于点P，线段
llPF2垂直平分线交2于点M，求点M的轨迹
C2的方程；
uuuruuuruuurQSCC （III）设2与x轴交于点Q，不同的两点R,S在2上，且满足QR?RS?0,求的
取值范围.
3c2a2?b21222e?,?e?2??,?2a?3b3ac23【解析】：（Ⅰ）∵
222l:x?y?2?0与圆x?y?b∵直线相切，
2∴
2?b,?b?2,b2?2 ∴a?3 …………3分
2x2y2??12∵椭圆C1的方程是 3 ………………6分
（Ⅱ）∵MP=MF2，
∴动点M到定直线l1:x??1的距离等于它到定点F1（1，0）的距离， ∴动点M的轨迹是C为l1准线，F2为焦点的抛物线 ………………6分
2y?4x …………9分 ∴点M的轨迹C2的方程为
2y12y2R(,y1),S(,y2)44（Ⅲ）Q（0，0），设 2y12y2?y12QR?(,y1),RS?(,y2?y1)44∴
∵QR?RS?0
2y12(y2?y12)?y1(y2?y1)?016∴
∵y1?y2,y1?0，化简得
y2??(y1?∴
2y2?y12?16)y1 ………………11分
∴
256?32?2256?32?64y12
y12?当且仅当
2562,y1?16,y1??42y1时等号成立 …………13分
2y21222|QS|?()2?y2?(y2?8)2?64，又?y2?6444∵
2|QS|min?85，故|QS|的取值范围是[85,??)……14分 ∴当y2?64,y2??8时，
2020年高考全国课标百所名校高三数学压轴题精选(含答案及解析)
