三角函数
一、任意角、弧度制及任意角的三角函数
1．任意角
(1)角的概念的推广
①按旋转方向不同分为正角、负角、零角．
?正角:按逆时针方向旋转形成的角?任意角?负角:按顺时针方向旋转形成的角
?零角:不作任何旋转形成的角?②按终边位置不同分为象限角和轴线角．
角?的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称?为第几象限角．
??第二象限角的集合为??k?360?90?k?360?180,k???
第三象限角的集合为??k?360?180???k?360?270,k??? 第四象限角的集合为??k?360?270???k?360?360,k??? 终边在x轴上的角的集合为????k?180,k???
终边在y轴上的角的集合为????k?180?90,k??? 终边在坐标轴上的角的集合为????k?90,k???
第一象限角的集合为?k?360o???k?360o?90o,k??
oooooooooooooooo(2)终边与角α相同的角可写成α＋k·360°(k∈Z)．终边与角?相同的角的集合为???k?360??,k?? (3)弧度制
①1弧度的角：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角． ②弧度与角度的换算：360°＝2π弧度；180°＝π弧度．
③半径为r的圆的圆心角?所对弧的长为l，则角?的弧度数的绝对值是??④若扇形的圆心角为??o?l r??为弧度制?，半径为r，弧长为l，周长为C，面积为S，则l?r?，C?2r?l，
11S?lr??r2．
22 2．任意角的三角函数定义
设α是一个任意角，角α的终边上任意一点P(x，y)，它与原点的距离为rr??x2?y2，那么角α的正弦、余弦、
?yxy正切分别是：sin α＝，cos α＝，tan α＝．（三角函数值在各象限的符号规律概括为：一全正、二正弦、三rrx
正切、四余弦）
3．特殊角的三角函数值
1
角度 函数 角a的弧度 sina cosa tana 0 0 0 1 0 30 π/6 1/2 √3/2 √3/3 45 π/4 √2/2 √2/2 1 60 π/3 √3/2 1/2 √3 90 π/2 1 0 120 2π/3 √3/2 -1/2 -√3 135 3π/4 √2/2 -√2/2 -1 150 5π/6 1/2 -√3/2 -√3/3 180 π 0 -1 0 270 3π/2 -1 0 360 2π 0 1 0 二、同角三角函数的基本关系与诱导公式 A.基础梳理
1．同角三角函数的基本关系
(1)平方关系：sin2α＋cos2α＝1；（在利用同角三角函数的平方关系时，若开方，要特别注意判断符号） (2)商数关系：2．诱导公式
公式一：sin(α＋2kπ)＝sin α，cos(α＋2kπ)＝cos_α，tan(??2k?)?tan? 其中k∈Z. 公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tan α. 公式三：sin(π－α)＝sin α，cos(π－α)＝－cos_α，tan???????tan?． 公式四：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α，tan??????tan?. ππ
－α?＝cos_α，cos?－α?＝sin α. 公式五：sin??2??2?ππ
＋α?＝cos_α，cos?＋α?＝－sin_α. 公式六：sin??2??2?
ππ
诱导公式可概括为k·±α的各三角函数值的化简公式．口诀：奇变偶不变，符号看象限．其中的奇、偶是指的奇数22倍和偶数倍，变与不变是指函数名称的变化．若是奇数倍，则函数名称要变(正弦变余弦，余弦变正弦)；若是偶数倍，π
则函数名称不变，符号看象限是指：把α看成锐角时，根据k·±α在哪个象限判断原三角函数值的符号，最后作为结．．．．．．．2果符号．
sin α
＝tan α. （3）倒数关系：tan??cot??1 cos α
B.方法与要点 一个口诀
1、诱导公式的记忆口诀为：奇变偶不变，符号看象限． 2、四种方法
在求值与化简时，常用方法有：
sin α(1)弦切互化法：主要利用公式tan α＝cos α化成正、余弦．
(2)和积转换法：利用(sin θ±cos θ)2＝1±2sin θcos θ的关系进行变形、转化． （sin??cos?、sin??cos?、sin?cos?三个式子知一可求二） 2
(3)巧用“1”的变换：1＝sin2θ＋cos2θ= sinπ?＝tan4 2asin??bcos?atan??bak?b ??msin??ncos?mtan??nmk?n（4）齐次式化切法：已知tan??k，则三、三角函数的图像与性质
学习目标：
1会求三角函数的定义域、值域
2会求三角函数的周期 ：定义法，公式法，图像法（如y?sinx与y?cosx的周期是?）。 3会判断三角函数奇偶性 4会求三角函数单调区间
5知道三角函数图像的对称中心，对称轴
6 知道y?Asin(?x??)，y?Acos(?x??)，y?Atan(?x??)的简单性质 （一） 知识要点梳理
1、正弦函数和余弦函数的图象：正弦函数y?sinx和余弦函数y?cosx图象的作图方法：五点法：先取横坐标分别为0，
?2,?,3?,2?的五点，再用光滑的曲线把这五点连接起来，就得到正弦曲线和余弦曲线在一个周期内的图象。 2y=sinx-4?-7?-3?2-5?2-2?-3?-?2-?2y1-1y-5?2-?-2?-3?2-?2o3?2?2?2?5?23?7?24?x
y=cosx-3?-4?-7?21-1o?2?3?22?5?23?7?24?x
2、正弦函数y?sinx(x?R)、余弦函数y?cosx(x?R)的性质： （1）定义域：都是R。 （2）值域：都是??1,1?，
3??k?Z?时，y取最小值－1；
22对y?cosx，当x?2k??k?Z?时，y取最大值1，当x?2k????k?Z?时，y取最小值－1。 （3）周期性：y?sinx，y?cosx的最小正周期都是2?；
对y?sinx，当x?2k????k?Z?时，y取最大值1；当x?2k??（4）奇偶性与对称性：
①正弦函数y?sinx(x?R)是奇函数，对称中心是?k?,0??k?Z?，对称轴是直线x?k??②余弦函数y?cosx(x?R)是偶函数，对称中心是?k???2?k?Z?；
?,0??k?Z?，对称轴是直线x?k??k?Z?；（正(余)2?弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心为图象与x轴的交点）。
（5）单调性：
???3
?3???????y?sinx在???2k?,?2k???k?Z?上单调递增，在??2k?,?2k???k?Z?单调递减；
22?2??2? y?cosx在????2k?,2k???k?Z?上单调递增,在?2k?,2k?????k?Z?上单调递减。特别提醒，别忘了k?Z！3、正切函数y?tanx的图象和性质： （1）定义域：{x|x??2?k?,k?Z}。
?k??,0??k?Z?，特别提醒：正(余)切型函数的对称中心有两类：一?2?（2）值域是R，无最大值也无最小值； （3）奇偶性与对称性：是奇函数，对称中心是?类是图象与x轴的交点，另一类是渐近线与x轴的交点，但无对称轴，这是与正弦、余弦函数的不同之处。 （4）单调性：正切函数在开区间?????? ?k?,?k???k?Z?内都是增函数。但要注意在整个定义域上不具有单调性。
2?2?y?cosx 4、正弦、余弦、正切函数的图像和性质 性 质 函 数 y?sinx y?tanx 图象 定义域 值域 R R ????xx?k??,k??? 2????1,1? 当x?2k????1,1? 当x?2k??k???时， R ?2?k???时，?2最值 ymax?1；当x?2k?? ymax?1；当x?2k??? 既无最大值也无最小值 ?k???时，ymin??1． 周期性 奇偶性 ?k???时，ymin??1． 2? 偶函数 2? 奇函数 ? 奇函数 ????在?2k??,2k??? 22???k???上是增函数；在 单调性 在?2k???,2k???k???上是增函数；在?2k?,2k???? ????在?k??,k??? 22???3???2k??,2k?? ??22???k???上是减函数． ?k???上是增函数． ?k???上是减函数． 4
对称中心?k?,0??k??? 对称性 对称轴x?k???2?k??? ???对称中心?k??,0??k??? 2??对称轴x?k??k??? ?k??,0??k??? 对称中心??2?无对称轴
5、研究函数y?Asin(?x??)性质的方法：类比于研究y?sinx的性质，只需将y?Asin(?x??)中的?x??看成y?sinx中的x。
函数y＝Asin（?x＋?）（A＞0，?＞0）的性质。 （1）定义域：R （2）值域：[-A, A] （3）周期性：T?2?
|?|①f(x)?Asin(?x??)和f(x)?Acos(?x??)的最小正周期都是T?②f(x)?Atan(?x??)的最小正周期都是T?2?。 |?|?。 |?|（4）单调性：函数y＝Asin（?x＋?）（A＞0，?＞0）的
??≤?x＋?≤2k?＋，k∈z解得； 223??单调减区间可由2k?＋≤?x＋?≤2k?＋，k∈z解得。
22在求y?Asin(?x??)的单调区间时，要特别注意A和?的符号，通过诱导公式先将?化正。
单调增区间可由2k?－如函数y?sin(?2x??3)的递减区间是______
（答：
解析：y=
，所以求y的递减区间即是求
的递增区间，由得
，所以y的递减区间是
四、函数y?Asin??x???的图像和三角函数模型的简单应用
一、
知识要点
2?1、 几个物理量： ①振幅：?；②周期：??2、 函数y?Asin(?x??)表达式的确定：A由最值确定；?由周期确定；?由图象上的特殊点确定.
函数y??sin??x?????，当
?；③频率：f?1??；④相位：?x??；⑤初相：?． ?2? ；当
x?x1时，取得最小值为
yminx?x2时，取得最大值为
ymax，则
??11?y?y??y?y?x2?x1?x1?x2??maxmin??maxmin?22，，2．
3、函数y?Asin(?x??)图象的画法：①“五点法”――设X??x??，令X＝0，
5
?2,?,3?,2?求出相应的x值，2
(完整版)人教高中数学必修四第一章三角函数知识点归纳
