竞赛培训专题7---几个重要不等式(一)
一、平均值不等式
设a1,a2,…, an是n个正实数，则时取等号
1.二维平均值不等式的变形
，当且仅当a1=a2=…=an(1)对实数a,b有a+b32ab (2)对正实数a,b有
22
(3)对b>0，有， (4)对ab>0有
2
，
(5)对实数a,b有a(a-b)3b(a-b) (6)对a>0,有
(7) 对a>0,有 (8)对实数a，b有a32ab-b
22
(9) 对实数a，b及l10，有二、例题选讲
例1.证明柯西不等式
证明：法一、若或命题显然成立，对10且10，取
代入(9)得有
两边平方得
法二、立
，即二次式不等式恒成
则判别式
例2.已知a>0,b>0,c>0,abc=1,试证明：
(1)
(2)
证明：(1)左=[]
=
3
(2)由知
同理：
相加得：左3
例3.求证：
证明：法一、取，有
a1(a1-b)3b(a1-b), a2(a2-b)3b(a2-b),…, an(an-b)3b(an-b)
222
相加得(a1+ a2+…+ an)-( a1+ a2+…+ an)b3b[(a1+ a2+…+ an)-nb]30
所以
2
2
2
2
法二、由柯西不等式得： (a1+ a2+…+ an)=((a1×1+ a2×1+…+ an×1)￡(a1+ a2+…+ an2)(12+12+…+12)
222
=(a1+ a2+…+ an)n, 所以原不等式成立
例4.已知a1, a2,…,an是正实数，且a1+ a2+…+ an<1，证明：
证明：设1-(a1+ a2+…+ an)=an+1>0,
n+1
则原不等式即na1a2…an+1￡(1-a1)(1-a2)…(1-an) 1-a1=a2+a3+…+an+13n1-a2=a1+a3+…+an+13n
………………………………………… 1-an+1=a1+a1+…+an3n相乘得(1-a1)(1-a2)…(1-an)3n例5.对于正整数n，求证：
n+1
证明：法一、
>
法二、左=
=
例6.已知a1,a2,a3,…,an为正数，且，求证：
(1)
(2)
证明：(1)
相乘左边3=(n+1)
2n证明(2)
左边= -n+2(
= -n+2×[(2-a1)+(2-a2)+…+(2-an)](
3 -n+2×n
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