(1)记A表示事件“旧养殖法的箱产量低于50 kg”，估计A的概率；
(2)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关；
旧养殖法 新养殖法 箱产量＜50 kg 箱产量≥50 kg (3)根据箱产量的频率分布直方图，对这两种养殖方法的优劣进行比较． 附： P(K2≥k) k 0.050 3.841 0.010 6.635 0.001 10.828， K＝
2
a＋bnad－bc2c＋da＋cb＋d.
切入点：频率分布直方图．
关键点：①从频率分布直方图中正确提取数据信息． ②正确计算K的值．
[解] (1)旧养殖法的箱产量低于50 kg的频率为 (0.012＋0.014＋0.024＋0.034＋0.040)×5＝0.62. 因此，事件A的概率估计值为0.62. (2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表：
2
旧养殖法 箱产量<50 kg 62 箱产量≥50 kg 38 - 11 -
新养殖法 200×62×66－34×38K＝
100×100×96×104
2
234 ≈15.705.
66 由于15.705＞6.635，故有99%的把握认为箱产量与养殖方法有关．
(3)箱产量的频率分布直方图表明：新养殖法的箱产量平均值(或中位数)在50 kg到55 kg之间，旧养殖法的箱产量平均值(或中位数)在45 kg到50 kg之间，且新养殖法的箱产量分布集中程度较旧养殖法的箱产量分布集中程度高，因此，可以认为新养殖法的箱产量较高且稳定，从而新养殖法优于旧养殖法．
角度三：概率在实际问题中的决策作用
3．(2016·全国卷Ⅰ)某公司计划购买1台机器，该种机器使用三年后即被淘汰．机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
记x表示1台机器在三年使用期内需更换的易损零件数，y表示1台机器在购买易损零件上所需的费用(单位：元)，n表示购机的同时购买的易损零件数．
(1)若n＝19，求y与x的函数解析式；
(2)若要求“需更换的易损零件数不大于n”的频率不小于0.5，求n的最小值； (3)假设这100台机器在购机的同时每台都购买19个易损零件，或每台都购买20个易损零件，分别计算这100台机器在购买易损零件上所需费用的平均数，以此作为决策依据，购买1台机器的同时应购买19个还是20个易损零件？
切入点：柱状图．
关键点：根据柱状图中的信息正确求出y关于x的函数解析式． [解] (1)当x≤19时，y＝3 800；
当x>19时，y＝3 800＋500(x－19)＝500x－5 700， 所以y与x的函数解析式为
y＝?
?3 800，x≤19，?
??500x－5 700，x＞19
(x∈N)．
(2)由柱状图知，需更换的零件数不大于18的频率为0.46，不大于19的频率为0.7，故
n的最小值为19.
(3)若每台机器在购机同时都购买19个易损零件，则这100台机器中有70台在购买易损
- 12 -
零件上的费用为3 800元，20台的费用为4 300元，10台的费用为4 800元，因此这100台1
机器在购买易损零件上所需费用的平均数为(3 800×70＋4 300×20＋4 800×10)＝4 000
100元．
若每台机器在购机同时都购买20个易损零件，则这100台机器中有90台在购买易损零件上的费用为4 000元，10台的费用为4 500元，因此这100台机器在购买易损零件上所需1
费用的平均数为(4 000×90＋4 500×10)＝4 050元.
100
比较两个平均数可知，购买1台机器的同时应购买19个易损零件．
解答概率与统计综合问题的2点注意
1明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率.
2此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成.
1．(概率与茎叶图、频率分布直方图的综合)某学校高一年级学生某次身体素质体能测试的原始成绩采用百分制，已知所有这些学生的原始成绩均分布在[50,100]内，发布成绩使用等级制，各等级划分标准见下表，规定A，B，C三级为合格等级，D为不合格等级． 百分制 等级 85分及以上 70分到84分 60分到69分 60分以下 A B C D 为了解该校高一年级学生身体素质情况，从中抽取了n名学生的原始成绩作为样本进行统计，按照[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]的分组作出频率分布直方图如图1所示，样本中原始成绩在80分及以上的所有数据的茎叶图如图2所示．
(1)求n和频率分布直方图中的x，y的值，并估计该校高一年级学生成绩是合格等级的概率；
(2)在选取的样本中，从A，D两个等级的学生中随机抽取2名学生进行调查，求至少有1名学生是A等级的概率．
6
[解] (1)由题意可知，样本容量n＝＝50，
0.012×10
- 13 -
x＝y＝
2
＝0.004， 50×10
1－0.04－0.1－0.12－0.56
＝0.018.
10
因为成绩是合格等级的人数为(1－0.1)×50＝45， 9
所以抽取的50人中成绩是合格等级的频率为，
10
9
依据样本估计总体的思想，该校高一年级学生成绩是合格等级的概率是.
10
(2)由茎叶图知，A等级学生共有3名，由频率分布直方图知D等级学生共有0.1×50＝5名，记A等级学生分别为A1，A2，A3，D等级学生分别为D1，D2，D3，D4，D5，则从8名学生中随机抽取2名学生的所有情况为A1A2，A1A3，A1D1，A1D2，A1D3，A1D4，A1D5，A2A3，A2D1，A2D2，A2D3，
A2D4，A2D5，A3D1，A3D2，A3D3，A3D4，A3D5，D1D2，D1D3，D1D4，D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共28个基本事件．
记“至少有1名学生是A等级”为事件E，则其对立事件E的可能结果为D1D2，D1D3，D1D4，
D1D5，D2D3，D2D4，D2D5，D3D4，D3D5，D4D5，共10种．
109所以P(E)＝1－P(E)＝1－＝.
2814
2．(概率与统计案例的综合)国家规定，疫苗在上市前必须经过严格的检测，并通过临床试验获得相关数据，以保证疫苗使用的安全和有效．某生物制品研究所将某一型号疫苗用在小白鼠身上进行科研和临床试验，得到统计数据如下：
未注射疫苗 注射疫苗 总计 未感染病毒 40 60 100 感染病毒 总计 p q 100 x y 200 3现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为.
5(1)求2×2列联表中p，q，x，y的值； (2)能否有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？
(3)在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例抽取5只进行病理分析，然后从这5只小白鼠中随机抽取3只对注射疫苗情况进行核实，求至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率．
附：K＝2
a＋bnad－bc2c＋da＋c0.05 b＋d，n＝a＋b＋c＋d.
0.005 0.001 P(K2≥k0) 0.01 - 14 -
k0 3.841 6.635 7.879 10.828 p3[解] (1)由＝，得p＝60，所以q＝40，x＝100，y＝100.
40＋p5
(2)由K＝
2
2
a＋bnad－bc2c＋da＋c2
b＋d，
200×40×40－60×60
得K＝
100×100×100×100
＝8<10.828，
所以没有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效．
(3)由于在感染病毒的小白鼠中，按未注射疫苗和注射疫苗的比例3∶2抽取，故抽取的5只小白鼠中3只未注射疫苗，分别用a，b，c表示，2只已注射疫苗，分别用D，E表示，从这5只小白鼠中随机抽取3只，可能的情况有：
(a，b，c)，(a，b，D)，(a，b，E)，(a，c，D)，(a，c，E)，(a，D，E)，(b，c，D)，(b，c，E)，(b，D，E)，(c，D，E)，共10种．
其中，至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的情况有：(a，b，c)，(a，b，D)，(a，b，
E)，(a，c，D)，(a，c，E)，(b，c，D)，(b，c，E)，共7种．
7
所以至少抽到2只为未注射疫苗的小白鼠的概率为.
10
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2020版高考数学二轮复习第2部分专题3概率与统计第1讲概率教案(文)
