第1讲 概率
[做小题——激活思维]
1．已知5件产品中有2件次品，其余为合格品，现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为( )
A．0.4 B．0.6 C．0.8 D．1
B [记3件合格品为a1，a2，a3,2件次品为b1，b2，则任取2件构成的基本事件空间为Ω＝{(a1，a2)，(a1，a3)，(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，a3)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)，(b1，b2)}，共10个元素．
记“恰有1件次品”为事件A，则A＝{(a1，b1)，(a1，b2)，(a2，b1)，(a2，b2)，(a3，b1)，(a3，b2)}，共6个元素．
6
故其概率为P(A)＝＝0.6.]
10
2．在区间[0,2π]上任取一个数x，则使得2sin x≥1的概率为( ) 1112A. B. C. D. 6433
C [因为2sin x≥1，x∈[0,2π]，
?π5π?所以x∈?，?，
6??6
5ππ
－661
所以所求概率P＝＝.]
2π3
3．从一副不包括大小王的混合后的扑克牌(52张)中，随机抽取1张，事件A为“抽得红桃K”，事件B为“抽得黑桃”，则概率P(A∪B)＝________.(结果用最简分数表示)
7113
[因为P(A)＝，P(B)＝， 265252且A与B是互斥事件．
113147所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝＝.]
52525226
4．从某班学生中任意找出一人，如果该同学的身高小于160 cm的概率为0.2，该同学的身高在[160,175](单位：cm)内的概率为0.5，那么该同学的身高超过175 cm的概率为________．
0．3 [因为必然事件发生的概率是1，所以该同学的身高超过175 cm的概率为1－0.2
- 1 -
－0.5＝0.3.]
5．某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取40名学生的测试成绩，整理数据并按分数段[40,50)，[50,60)，[60,70)，[70,80)，[80,90)，[90,100]进行分组，假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图如图所示．
为分析学生平时的体育活动情况，现从体育成绩在[60,70)和[80,90)的样本学生中随机抽取2人，则在抽取的2名学生中，至少有1人体育成绩在[60,70)的概率为________．
7
[由折线图可知，体育成绩在[60,70)的学生有2人，成绩在[80,90)的学生有3人． 10
设“至少有1人体育成绩在[60,70)”为事件M，
记体育成绩在[60,70)的数据为A1，A2，体育成绩在[80,90)的数据为B1，B2，B3， 则从这两组数据中随机抽取2个，所有可能的结果有10种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，
B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)．
而事件M的结果有7种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，7
(A2，B3)，因此事件M的概率P(M)＝.] 10
[扣要点——查缺补漏]
1．随机事件的概率
(1)对立事件是互斥事件的特殊情况，互斥事件不一定是对立事件． (2)若事件A，B互斥，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．如T3. 若事件A，B对立，则P(A)＝1－P(B)．如T4. 2．求古典概型问题的两种方法
(1)转化为几个互斥事件的和，利用互斥事件的加法公式求解．如T3. (2)用间接法，利用对立事件的概率公式进行求解．如T4. 3．几何概型
几何概型问题解决的关键是确定区域的测度，注意区分长度与角度、面积与体积等一般所选对象的活动范围，在直线上选长度作为测度；在平面区域内选面积作为测度；在空间区域中则选体积作为测度．如T2.
- 2 -
古典概型(5年7考)
[高考解读] 试题以考生生活、学习中的真实情境为素材，考查古典概型及其概率计算，体现了数学的应用性.
1．(2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为( )
2321A. B. C. D. 3555切入点：从5只兔子中随机取出3只． 关键点：正确列出测量的所有取法．
B [设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，
b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，
(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，
b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．
63
故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.]
105
2．(2018·全国卷Ⅱ)从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务，则选中的2人都是女同学的概率为( )
A．0.6 B．0.5 C．0.4 D．0.3
切入点：①从2名男同学和3名女同学中任选2人； ②2人都是女同学．
关键点：正确列出从5人中选出2人都是女同学的所有基本事件．
D [将2名男同学分别记为x，y,3名女同学分别记为a，b，c.设“选中的2人都是女同学”为事件A，则从5名同学中任选2人参加社区服务的所有可能情况有(x，y)，(x，a)，(x，b)，(x，c)，(y，a)，(y，b)，(y，c)，(a，b)，(a，c)，(b，c)，共10种，其中事件
A包含的可能情况有(a，b)，(a，c)，(b，c)，共3种，故P(A)＝＝0.3.故选D.]
3．(2016·全国卷Ⅲ)小敏打开计算机时，忘记了开机密码的前两位，只记得第一位是M，
310
I，N中的一个字母，第二位是1,2,3,4,5中的一个数字，则小敏输入一次密码能够成功开机
的概率是( )
- 3 -
A.
8111 B. C. D. 1581530
切入点：①密码为两位数； ②第一位从M，I，N中选； ③第二位从1,2,3,4,5中选． 关键点：正确列出所有密码的情况．
C [∵Ω＝{(M,1)，(M,2)，(M,3)，(M,4)，(M,5)，(I,1)，(I,2)，(I,3)，(I,4)，(I,5)，(N,1)，(N,2)，(N,3)，(N,4)，(N,5)}，
∴事件总数有15种．
1∵正确的开机密码只有1种，∴P＝.]
15
求古典概型概率的2个关键点
1会利用枚举法、列表法等，求样本空间所含的基本事件数n以及事件A所含的基本
事件数m.
2会运用古典概型的概率计算公式PA＝求事件A发生的概率.
1．(古典概型与平面向量交汇)已知向量a＝(x，y)，b＝(1，－2)，从6张大小相同、分别标有号码1,2,3,4,5,6的卡片中，有放回地抽取两张，x，y分别表示第一次、第二次抽取的卡片上的号码，则满足a·b>0的概率是( )
A.
1311 B. C. D. 12456
mnD [设(x，y)表示一个基本事件，则两次抽取卡片的所有基本事件有6×6＝36个．a·b＞0，即x－2y>0，满足x－2y>0的基本事件有(3,1)，(4,1)，(5,1)，(6,1)，(5,2)，(6,2)，61
共6个，所以所求概率P＝＝.]
366
2．(古典概型与函数交汇)已知a∈{－2,0,1,2,3}，b∈{3,5}，则函数f(x)＝(a－2)e＋b为减函数的概率是( )
A.
3321 B. C. D. 10555
2
2
xC [函数f(x)＝(a－2)e＋b为减函数，则a－2＜0，又a∈{－2,0,1,2,3}，故只有a2×222x＝0，a＝1满足题意，又b∈{3,5}，所以函数f(x)＝(a－2)e＋b为减函数的概率是＝.5×25故选C.]
- 4 -
x2
3．(古典概型与不等式、集合交汇)已知集合A＝{x|x＋2x－3＜0}，B＝{x|(x＋2)(x－3)＜0}，设(a，b)为有序实数对，其中a是从集合A中任取的一个整数，b是从集合B中任取的一个整数，则“a－b∈(A∪B)”的概率为( )
5113A. B. C. D. 6824
D [由已知得A＝{x|－3＜x＜1}，B＝{x|－2＜x＜3}，因为a，b∈Z，且a∈A，b∈B，所以a∈{－2，－1,0}，b∈{－1,0,1,2}，a－b共有12个结果，即12个基本事件：－1，－2，－3，－4,0，－1，－2，－3,1,0，－1，－2，又A∪B＝(－3,3)，设事件E为“a－b∈(A∪B)”，93
则事件E包含9个基本事件，故事件E发生的概率P(E)＝＝.]
124
几何概型(5年2考)
[高考解读] 试题选取考生熟悉的太极图、现实生活中交叉路口红灯等待时间的情境命制试题，使考生对问题的背景有真实、具体、形象的感受，考查考生或数学建模、数学运算的核心素养.
1．(2017·全国卷Ⅰ)如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图．正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称．在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是( )
1π1πA. B. C. D. 4824
切入点：黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称． 关键点：正确求出黑色部分的面积．
B [不妨设正方形ABCD的边长为2，则正方形内切圆的半径为1，可得S正方形＝4. 1π由圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，得S黑＝S白＝S圆＝，所
22π
2S黑π
以由几何概型知所求概率P＝＝＝.
S正方形2×28
故选B.]
2．(2016·全国卷Ⅱ)某路口人行横道的信号灯为红灯和绿灯交替出现，红灯持续时间为40秒．若一名行人来到该路口遇到红灯，则至少需要等待15秒才出现绿灯的概率为( )
A.
7533 B. C. D. 108810
2
切入点：①红灯持续时间为40秒； ②至少需要等待15秒才出现绿灯．
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2020版高考数学二轮复习第2部分专题3概率与统计第1讲概率教案(文)
