易证△B'CD∽△EFB'，
kB'EB'F3?B'F.∴B'F?k. ∴，即?kkB'DCD33?555?kk2k. ??5?3332kkk在Rt△B'CD中，CB'= 5?，CD=，B'D=BD=3－，
355∴CB'?OC?B'F?OF?OC?B'F?AE?5?由勾股定理得，CB'2＋CD2= B'D2，
2k??k??k??2∴?5???3??????，整理得10k?123k?360?0.
3??5??5??解得，k1?2222415?24?, k2?（不合题意，舍去）.∴D?, 5?. 52?25??24?, 5?． ?25?∴满足条件的点D存在，D的坐标为?【考点】反比例函数综合题；单动和轴对称问题； 曲线上点的坐标与方程的关系；平行的判定；相似三角形的判定和性质；勾股定理；方程思想的应用. 【分析】（1）设E?3, ?，则OA=3， AE=
∵△EOA的面积为2，∴
??k?3?k． 31k?3??2?k?4. 23k?k??k?上，得到D?, 5?, E?3, ?，从x?5??3?（2）设D?a, 5?, E?3, b?，由D?a, 5?, E?3, b?在y?而求得
BCBDBCAB，即，进而证得DE∥AC． ??ABBEBDBE（3）设D??k??k?, 5?, E?3, ?，作辅助线“过点E作EF⊥OC，垂足为F”，由△B'CD∽△EFB'得到53????B'EB'Fk而求得B'F?，从而在Rt△B'CD中，应用勾股定理列方程求解即可. ?B'DCD310. （2015年江苏徐州12分）如图，在平面直角坐标系中，点A（10，0），以OA为直径在第一象限内作半圆，B为半圆上一点，连接AB并延长至C，使BC=AB，过C作CD⊥x轴于点D,交线段OB于点E，已知CD=8，抛物线经过O、E、A三点.
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（1）∠OBA= ▲ °； （2）求抛物线的函数表达式；
（3）若P为抛物线上位于第一象限内的一个动点，以P、O、A、E为顶点的四边形面积记作S，则S取何值时，相应的点P有且只有．．．．3个？
【答案】解：（1）90.
（2）如答图1，连接OC，
∵由（1）知OB⊥AC，又AB=BC， ∴OB是的垂直平分线. ∴OC=OA=10.
在Rt△OCD中，OC=10，CD=8，∴OD=6. ∴C(6，8)，B(8，4).
∴OB所在直线的函数关系为y?1x. 2又E点的横坐标为6，∴E点纵坐标为3，即E(6，3)． ∵抛物线过O(0，0)，E(6，3) ，A(10，0)， ∴设此抛物线的函数关系式为y?ax?x?10?， 把E点坐标代入得3?6a?6?10?，解得a??. ∴此抛物线的函数关系式为y??18115x?x?10?，即y??x2?x． 884 ?（3）设点P?p，??15p2?84?p?， ?①若点P在CD的左侧，延长OP交CD于Q，如答图2，
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∵OP所在直线函数关系式为：y???∴当x=6时，y???15? ??x，
84??315p?，即Q点纵坐标为42?315p?. 42∴QE??31539p??3??p?. 4242∴S四边形POAE= S△OAE ＋S△OPE = S△OAE ＋S△OQE－S△PQE =
111?OA?DE??QE?Dx??QE??Dx?Px? 222121?39?1?39?393572p???6????p????6?p???p2?p?15???p?6??.
2?42?2?42?8482=?10?3????②若点P在CD的右侧，延长AP交CD于Q，如答图3，
15?P?p， ?p2?84??p?，A(10，0)， ?∴设AP所在直线方程为：y=kx＋b，
?10k?b?0?把P和A坐标代入得，? 125，
pk?b??p?p?84?1?k??p??8解得?.
?b?5p??415px?p. 8465111∴当x=6时，y??p?p?p，即Q点纵坐标为p.∴QE=p?3.
84222∴AP所在直线方程为：y??∴S四边形POAE= S△OAE ＋S△APE= S△OAE ＋S△AQE －S△PQE =
111?OA?DE??QE?DA??QE??Px?Dx? 22211?11?1112???10?3???p?3??4???p?3???p?6???p2?4p???p?8??16. 22?22?244??=
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∴当P在CD右侧时，四边形POAE的面积最大值为16，此时点P的位置就一个，
令?57329. p?p?15?16，解得，p?3?384∴当P在CD左侧时，四边形POAE的面积等于16的对应P的位置有两个.
综上知，以P、O、A、E为顶点的四边形面积S等于16时，相应的点P有且只有3个．
【考点】二次函数综合题；单动点问题；圆周角定理；线段垂直平分线的性质；勾股定理；待定系数洪都拉斯应用；曲线上点的坐标与方程的关系；分类思想、转换思想和方程思想的应用. 【分析】（1）根据直径所对的圆周角定理直接得出结论.
（2）作辅助线：连接OC，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理求出点E、A的坐标，从而应用待
定系数法求出抛物线的函数关系式.
?（3）设点P?p，??15p2?84?p?，分点P在CD的左侧和右侧两种情况求出S四边形POAE关于p的二次?函数关系式，根据二次函数的最值原理求解即可.
11. （2015年江苏盐城10分）如图，把△EFP按图所示的方式放置在菱形ABCD中，使得顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上.已知EP=FP=4，EF=43，∠BAD=60°，且AB?43. （1）求∠EPF的大小； （2）若AP=6，求AE+AF的值；
（3）若△EFP的三个顶点E、F、P分别在线段AB、AD、AC上运动，请直接写出AP长的最大值和最小值.
【答案】解：（1）如答图1，过点P作PG?EF于点G，
∵EP=FP=4，PG?EF，EF=43，
12FG233在Rt?FPG中，sin?FPG?. ??PF42- 1 -
∴EG?FG?23, ?FPG??EPG??EPF.
∵?FPG?60?.∴?EPF?2?FPG?120?.
（2）如答图2，过点P作PM?AB于点M，过点P作PN?AD于点N，
在菱形ABCD中，∵AD?AB, DC?BC, AC?AC， ∴?ADC≌?ABC?SSS?.∴?DAC??BAC. ∴根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，
得PM?PN.
在Rt?PEM和Rt?PFN中，∵PM?PN, EP?FP， ∴Rt?PEM≌Rt?PFN?HL?.∴EM?FN.
∵在菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴?PAM??BAD?30?.
在Rt?PAM中，∵?PAM?30?, AP?6，∴AM?AP?cos?PAM?6?同理，AN?33. ∴AE?AF??AM?EN???AN?FN??AM?AN?63. （3）AP长的最大值是8，最小值是4.
【考点】多动点问题；菱形的性质；全等三角形的判定和性质；锐角三角函数定义；特殊角的三角函数值；数形结合思想的应用.
【分析】（1）作辅助线“过点P作PG?EF于点G”，根据等腰三角形三线合一的性质，得到FG?23，
123?33. 21?FPG??EPF，在Rt?FPG中，根据正弦函数定义和60°的三角函数值求得?FPG，进而求得?EPF.
2（2）作辅助线“过点P作PM?AB于点M，过点P作PN?AD于点N”，构成一对全等三角形
Rt?PEM≌Rt?PFN?HL?，得到EM?FN，在Rt?PAM和Rt?PAN中，分别求得AM?AN?33，从而根据AE?AF??AM?EN???AN?FN??AM?AN求解即可.
（3）如答图3，当EF?AC，点P在EF的右侧时，AP有最大值，当EF?AC，点P在EF的左侧时，AP有最小值.
设EF与AC相交于点O， ∵EP=FP，∴OF?1EF?23. 2∵?EPA?60?, PE?4，∴OP?2.
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江苏省13市2015年中考数学分类解析专题13：动态几何问题
