第3章 傅里叶变换与连续系统的频域分析
3.6本章习题全解
3.1 证明函数集?cosn?0t,n?0,1,2,L?在区间?0,2? 证明: 对任意的自然数n,m (n?m),有
2??0?内是正交函数集。
?02??0
?0cosn?0tcosm?0tdt??011[cos(n?m)?0t+cos(n?m)?0t]dt 22 =0
证毕 3.2 一个由正弦信号合成的信号由下面的等式给出：
x(t)?10cos(800?t?)?7cos(1200?t?)?5cos(1600?t) 43（1）画出这个信号的频谱图，表明每个频率成分的复数值。对于每个频率的复振幅，将其实部和虚部分开或者将其幅度和相位分开来画。
（2）x(t)是周期信号吗？如果是，周期是什么？（提示：按照最小公倍数计算） （3）现在考虑一个新的信号：y(t)?x(t)?5cos(1000?t????2请问，频谱如何变化？)，
y(t)是周期信号吗？如果是，周期是什么？
解：（1）频谱图如下
X(j?) 10 7 5
10
7 1600?
800? 1200?
-5 0
?
振幅图
?(?) ?4 0 8001200? ?
? -?3
相位图
（2）x(t)三项都是周期信号，周期分别为1/400、1/600、1/800，所以x(t)是周期信号，周期为为1/400、1/600、1/800的最小公倍数为1/200。
（3）根据频谱的分析y(t)比x(t)多了一个频谱分量，频率为1/500，所以y(t)还是周期信号，周期为1/200和1/500的最小公倍数1/100。 3.3 求下列每个信号的傅里叶级数表示式。 （1）ej200t； （2）cos???(t?1)?； ?4??（3）cos4t?sin8t；
（4）x(t)是周期为2的周期信号，且
x(t)?e?t,（5）x(t)，如题图3.3所示。
?1?t?1
题图3.3
（6）x(t)是周期为4的周期信号，且
?sin?t0?t?2 x(t)??02?t?4?（7）sint
2解（1）该信号为虚指数信号，自身就是指数级数，频?0?200，周期T?三角级数为ej200t?cos(200t)?jsin(200t) （2）基频?0??100
?4，周期T?8
三角级数cos??(t?1)??2?cos??t??sin??t??
???????2??4??4??4???指数级数?t?t?t?j?jj?j?t?2???t?2?e4?e4j(e4?e4)???t??cos???sin????? ?2?22?4??2???4???????t?tj?j22(1?j)e4?(1?j)e444（3）自身为三角级数cos4t?sin8t，基频?0?4，周期T?指数级数
?2
ej4t?e?j4tj(e?j8t?ej8t)je?j8te?j4te?j4tjej8t
cos4t?sin8t??????222222（4）周期T=2；基频?0??
11?te?e?1a0??edt??1.175
?12221?t(?1)n(e?e?1)an??ecos(n?t)dt? 2?121?(n?)21?t(e?e?1)n?(?1)nbn??esin(n?t)dt?
2?11?(n?)2三角级数：x(t)?1.175??[an?1?ncos(n?t)?bnsin(n?t)]
11?t?jn?te1?jn??e?(1?jn?)(?1)k(e1?e?1)Fn??eedt??
2?12(1?jn?)2(1?jn?)指数级数：x(t)?n????Fen?jnt(?1)k(e1?e?1)jn?t??e
2(1?jn?)n????（5）由图可知，周期T=2；基频?0??，且该信号为奇信号
a0?an?0
bn?2?tsin(n?t)dt?012(?1)n?1 n?22?(?1)n?1n?1(?1)sin(n?t)??sin(n?t) 三角级数：x(t)??n??nn?1n?1?Fn??11jbn?(?1)n?1 2n?指数级数：x(t)?n?????2?Fne
jnt?1(?1)n?1ejn?t ?n???n??（6）周期T=4；基频?0?a0?12sin(?t)dt?0 ?0424?,n为奇数1?2?(4?n) an??sin(?t)cos(n?t/2)dt??20?0 n为偶数?bn?12sin(?t)sin(n?t/2)dt?0 ?021三角级数：x(t)????[ancos(n?t/2)
n?1??2jsin(n?/2)e?jn?/212?Fn??sin(?t)e?jn?t/2dt???(4?n2)40?0?指数级数： x(t)?2n??2n??2
n????Fen?jnt
（7）sint? 三角级数为
1?cos(2t)11j2t??(e?e?j2t)
22411a0?,a2??，其他系数为0
22指数级数: x(t)=
11j2t?j2t?(e?e) 243.4 给定周期方波x(t)如图题图3.4所示，求该信号的傅里叶级数（包括三角形式和指数形式）。
x(t)E?3T?2T?TT0T?22题图3.4
T2Tt
1解：（1）Fn?Tx(t)??T20e?jntnT?j1dt?(1?e2)
jnTnT?j1(1?e2)ejnt jnTn????Fen?jnt?n?????1T1（2）a0??21dt?
T022Tsin(nT/2)an??2cos(nt)dt?
0TnT/22T2bn??2sin(nt)dt?[1?cos(nT/2)]
T0nTx(t)?a0??[ancos(nt)?bnsin(nt)]n?1?2?sin(nT/2)??0.5???cos(nt)?[1?cos(nT/2)]sin(nt)?nT/2nT?n?1?3.5、求题图3.5所示各周期信号的傅里叶系数Xn，并画出其频谱图。
1 x1(t) 2 (a)
题图3.5
解：（a）T?4,?0?1?
x2(t) … -2 -4 -1 0 1 … 3 4 E … -T 0 T (b)
… 2T t
?2
11?jn?0t1?jn2t1?jn2t1 Xn??e dt??edt??e?14?14?12jn???
信号与系统王明泉科学出版社第三章习题解答
