思维特训配方法的妙用
1．配方法是把一个多项式经过适当变形配成完全平方式的恒等变形，是一种很重要、很基本的数学方法，如能灵活运用，可以得到多种配方形式：
①a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝(a－b)2＋2ab；②a2＋ab＋b2＝(a＋b)2－ab
b?2?3?2?1
＝(a－b)2＋3ab＝?a＋2?＋?b?；③a2＋b2＋c2＋ab＋bc＋ac＝2[(a＋b)2
???2?
＋(b＋c)2＋(c＋a)2]．
2．配方的方法技巧：配方的目标是出现完全平方式，有时需要在代数式中拆项、添项、分组才能写出完全平方式．常用以下三种形式：(1)由a2＋b2配上2ab，(2)由2ab配上a2＋b2，(3)由a2±2ab配上b2.同一个式子可以有不同的配方法和配方结果．
类型一 完全平方式
1．假设4x2＋kxy＋y2表示一个完全平方式，那么k的值为( ) A、4 B、±4 C、±8 D、8
2．9x2＋18(n－1)x＋18n是完全平方式，求常数n的值．
1
3．假设x2－6x＋1＝0，求x2＋x2－1的值．
111
4．a，b，c为整数，且满足a2＋b2＋c2＋3 类型二 最大(小)值 5．多项式p＝a2＋2b2＋2a＋4b＋5，那么p的最小值是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 11 6．多项式－x2－2x＋4取得最大值时，x的值为( ) 1111A、－4 B、－2 C.2 D.4 7．无论x取何值，二次三项式－3x2＋12x－11的值都不超过________． 8．对关于x的二次三项式x2＋4x＋9进行配方得x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n. (1)求m，n的值； (2)当x为何值时，x2＋4x＋9有最小值？最小值是多少？ 9．先阅读理解下面的例题，再按要求解答以下问题： 例题：求代数式y2＋4y＋8的最小值． 解：y2＋4y＋8＝y2＋4y＋4＋4＝(y＋2)2＋4. ∵(y＋2)2≥0，∴(y＋2)2＋4≥4，∴y2＋4y＋8的最小值是4. (1)求代数式m2＋m＋4的最小值； (2)求代数式4－x2＋2x的最大值； (3)某居民小区要在一块一边靠墙(墙长15 m)的空地上建一个长方形花园ABCD，花园一边靠墙，另三边用总长为20 m的栅栏围成．如图5－S－1，设AB＝x m，请问：当x取何值时，花园的面积最大？最大面积是多少？ 图5－S－1 类型三 非负数的和为0 10．a，b，c满足a2＋2b＝7，b2－2c＝－1，c2－6a＝－17，那么a＋b＋c的值等于( ) A、2 B、3 C、4 D、5 11．4x2－4x＋1＋3y－2＝0，求x＋y的值． 12．假设a，b，c是△ABC的三边长，且a2＋b2＋c2＋50＝6a＋8b＋10c，判断△ABC的形状． 13．代数式(x－a)(x－b)－(x－b)(c－x)＋(a－x)(c－x)是一个完全平方式，试问以a，b，c为三边长的三角形是什么三角形？ 详解详析 1．B [解析] 假设4x2＋kxy＋y2表示一个完全平方式，那么可以配成(2x±y)2的形式，那么k＝±4. 2．解：根据题意，得18(n－1)＝±2×3×18n.化简，得n－1＝±2n.两边平方，得n2－2n＋1＝2n，解得n＝2±3. 1 3．解：∵x2－6x＋1＝0，∴x－6＋x＝0， 1 ∴x＋x＝6， 11 两边平方，得x2＋2·x·x＋x2＝36， 1 ∴x2＋x2＝36－2＝34， 1 ∴x2＋x2－1＝34－1＝33. 4．解：由a，b，c均为整数，a2＋b2＋c2＋3 (4a2－4ab＋b2)＋(3b2－12b＋12)＋(4c2－8c＋4)≤0， (2a－b)2＋3(b2－4b＋4)＋4(c2－2c＋1)≤0， (2a－b)2＋3(b－2)2＋4(c－1)2≤0， ∴2a－b＝0，b－2＝0，c－1＝0， 解得a＝1，b＝2，c＝1， ?111?abc25∴?a＋b＋c?＝4. ??5．B [解析] p＝a2＋2b2＋2a＋4b＋5＝(a＋1)2＋2(b＋1)2＋2≥2.应选B. 11156．A [解析] －x2－2x＋4＝－(x＋4)2＋16， 1155 ∵－(x＋4)2≤0，∴－(x＋4)2＋16≤16， 111 ∴当x＝－4时，多项式－x2－2x＋4取得最大值． 应选A. 7．1 [解析] ∵－3x2＋12x－11＝－3(x2－4x＋4)＋12－11＝－3(x－2)2＋1≤1，∴无论x取何值，二次三项式－3x2＋12x－11的值都不超过1. 8．解：(1)∵x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝x2＋2mx＋m2＋n， ∴2m＝4，m2＋n＝9，解得m＝2，n＝5. (2)∵m＝2，n＝5， ∴x2＋4x＋9＝(x＋m)2＋n＝(x＋2)2＋5， ∴当x＝－2时，x2＋4x＋9有最小值，最小值是5. 115 9．解：(1)m2＋m＋4＝(m＋2)2＋4. 111515 ∵(m＋2)2≥0，∴(m＋2)2＋4≥4， 15 那么代数式m2＋m＋4的最小值是4. (2)4－x2＋2x＝－(x－1)2＋5. ∵－(x－1)2≤0，∴－(x－1)2＋5≤5， 那么代数式4－x2＋2x的最大值为5. (3)由题意，得花园的面积是x(20－2x)＝－2x2＋20x， ∵－2x2＋20x＝－2(x－5)2＋50，－2(x－5)2≤0，∴－2(x－5)2＋50≤50，∴－2x2＋20x的最大值是50，此时x＝5，那么当x＝5时，花园的面积最大，最大面积是50 m2. 10．B [解析] 由a2＋2b＝7，b2－2c＝－1，c2－6a＝－17得a2＋2b＋b2－2c＋c2－6a＋11＝0， ∴(a－3)2＋(b＋1)2＋(c－1)2＝0， ∴a＝3，b＝－1，c＝1， ∴a＋b＋c＝3.应选B. 11．解：4x2－4x＋1＋3y－2＝0，即(2x－1)2＋3y－2＝0. ∵(2x－1)2≥0，3y－2≥0， 12 ∴2x－1＝0且3y－2＝0，∴x＝2，y＝3， 127 那么x＋y＝2＋3＝6. 12．解：由条件可把原式变形为(a－3)2＋(b－4)2＋(c－5)2＝0. ∵(a－3)2≥0，(b－4)2≥0，(c－5)2≥0， ∴a－3＝0，b－4＝0，c－5＝0，即a＝3，b＝4，c＝5，故△ABC为直角三角形． 13．解：原式＝x2－(a＋b)x＋ab＋x2－(b＋c)x＋bc＋x2－(a＋c)x＋ac＝3x2－(2a＋2b＋2c)x＋ab＋bc＋ac， ∵结果为完全平方式，即Δ＝(2a＋2b＋2c)2－4×3(ab＋bc＋ac)＝0， ∴a2＋b2＋c2－ab－ac－bc＝0，即2a2＋2b2＋2c2－2ab－2ac－2bc＝0， ∴(a－b)2＋(a－c)2＋(b－c)2＝0，即a＝b＝c， 那么以a，b，c为三边长的三角形是等边三角形．
思维特训配方法的妙用
