选修2-3随机变量及其分布知识点汇总典型例题
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2-3随机变量及其分布
要点归纳离散型随机变量及其分布列一、1.(1)随机变量:在随机试验中,我们确定了一个对应关系,使得每一个试验结果都用一个确定的数字表示.在这个对应关系下,数字随着试验结果的变化而变化.像这种随着试验结果变化而变化的变量称为随机变量.通常用字母X,Y,ξ,η等表示.(2)离散型随机变量:所有取值可以一一列出的随机变量称为离散型随机变量.(3)离散型随机变量的分布列:一般地,若离散型随机变量X可能取的不同值为x1,x2…,xi,…xn,X取每一个值xi(i=1,2,…,n)的概率P(X=xi)=pi,以表格的形式表示如下:
XPx1p1x2p2……xipi……xnpn我们将上表称为离散型随机变量X的概率分布列,简称为X的分布列.有时为了简单起见,也用等式P(X=xi)=pi,i=1,2,…,n表示X的分布列.(4)离散型随机变量的分布列的性质:①pi≥0,i=1,2,…,n;②?pi=1. i=1n
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(5)常见的分布列:两点分布:如果随机变量X的分布列具有下表的形式,则称X服从两点分布,并称p=P(X=1)为成功概率.XP01-p1p两点分布又称0-1分布,伯努利分布. 超几何分布:一般地,在含有M件次品的N件产品中,任取n件,其中恰有X件次品,则事件{X=k}发生的概率为P(X=nkCkMCN-Mk)=,k=0,1,2,…,m,即 CnN-XP0n0C0MCN-M CnN-1n1C1MCN-M CnN-……mnmCmMCN-M nCN-
其中m=min{M,n},且n≤N,M≤N,n,M,N∈N*.如果随机变量X的分布列具有上表的形式,则称随机变量X服从超几何分布.二项分布及其应用2.(1)条件概率:一般地,设A和B是两个事件,且P(A)>0,称P(B|A)=P(AB)为在事件A发生的条件下,事件B发生P(A)的条件概率.P(B|A)读作A发生的条件下B发生的概率. (2)条件概率的性质:①0≤P(B|A)≤1;②必然事件的条件概率为1,不可能事件的条件概率为0;
③如果B和C是两个互斥事件,则P(B∪C|A)=P(B|A)+P(C|A). (3)事件的相互独立性:设A,B为两个事件,如果P(AB)=P(A)P(B),则称事件A与事件B相互独立.如果事件A与B相互独立,那么A与-B,-A与B,-A与-B也都相互独立. (4)独立重复试验:一般地,在相同条件下重复做的n次试验称为n次独立重复试验.(5)二项分布:一般地,在n次独立重复试验中,设事件A发生的次数为X,在每次试验中事件A发生的概率为p,那么在n次独立重复试验中,事件A恰好发生k次的概率为
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P(X=k)=Cpk(1-p)n-k,k=0,1,2,…,n.此时称随机变量X服从二项分布,记作X~B(n,p),并称p为成功概率.两点分布是当n=1时的二项分布,二项分布可以看成是两点分布的一般形式.3.离散型随机变量的均值与方差(1)均值、方差:一般地,若离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则称E(X)=x1p1+x2p2+…+xipi+…+xnpn为随机变量X的均值或数学期望,它反映了离散型随机变量取值的平均水平.称D(X)=? (xi-E(X))2pi为随机变量X的方差,D(X)为i=1n
随机变量X的标准差. (2)均值与方差的性质:若Y=aX+b,其中a,b是常数,X是随机变量,则Y也是随机变量,且E(aX+b)=aE(X)+b,D(aX+b)=a2D(X).(3)常见分布的均值和方差公式:①两点分布:若随机变量X服从参数为p的两点分布,则均值E(X)=p,方差D(X)=p(1-p).②二项分布:若随机变量X~B(n,p),则均值E(X)=np,方差D(X)=np(1-p).
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