为__________.
【答案】
21 2【命题立意】本题考查了递推数列的通项公式的求解以及构造函数利用导数判断函数
单调性，考查了同学们综合运用知识解决问题的能力。
2
【解析】an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+…+(a2-a1)+a1=2[1+2+…(n-1)]+33=33+n-n
an33??n?1 nn33?33设f(n)??n?1，令f(n)?2?1?0，则f(n)在(33,??)上是单调递增，
nn所以
在(0,33)上是递减的，因为n∈N+,所以当n=5或6时f(n)有最小值。
又因为
a553a66321aa21 ?，??，所以，n的最小值为6?5566262.n点评：数列是一种特殊的函数，动态的函数观点是解决数列问题的有效方法。数列的项可看作定义在正整数集（或它的有限子集）上的函数。
如等差数列{an}的通项公式an?a1?(n?1)d?dn?(a1?d)，前n项的和公式
Sn?na1?n(n?1)ddd?n2?(a1?)n。当d?0时，可以看作自变量n的一次和二次函222数。因此利用函数的思想方法去研究数列问题不仅能加深对数列的理解，也有助于学生解题思维能力的培养及增强应用函数思想解题的意识。
题型6：立体几何问题
例6．（1）如果，三棱锥P—ABC中，已知PA⊥BC，PA=BC=l，PA，BC的公垂线ED=h．求证三棱锥P—ABC的体积V?12lh。 6分析：如视P为顶点，△ABC为底面，则无论是S△ABC以及高h都不好求．如果观察图形，换个角度看问题，创造条件去应用三棱锥体积公式，则可走出困境．
解析：如图，连结EB，EC，由PA⊥BC，PA⊥ED，ED∩BC=E，可得PA⊥面ECD．这样，截面ECD将原三棱锥切割成两个分别以ECD为底面，以PE、AE为高的小三棱锥，而它们的底面积相等，高相加等于PE+AE=PA=l，所以
111S△ECD?AE+S△ECD?PE=S△ECD ?PA 3331112=?BC·ED·PA=V?lh。 326VP－ABC=VP－ECD+VA－ECD=
点评：辅助截面ECD的添设使问题转化为已知问题迎刃而解。
（2）如图，在三棱锥S-ABC中，S在底面上的射影N位于底面的高CD上，M是侧棱SC上的一点，使截面MAB与底面所成角等于∠NSC。求证：SC垂直于截面MAB。（83年全国高考）
分析：由三垂线定理容易证明SC⊥AB，再在平面SDNC中利用平面几何知识证明SC⊥DM。 证明：由已知可得：SN⊥底面ABC，AB⊥CD，CD是斜线SC在底面AB的射影， ∴ AB⊥SC。
∵ AB⊥SC、AB⊥CD
∴ AB⊥平面SDNC
∴ ∠MDC就是截面MAB与底面所成的二面角 由已知得∠MDC＝∠NSC 又∵ ∠DCM＝∠SCN ∴ △DCM≌△SCM
∴ ∠DMC＝∠SNC＝Rt∠ 即 SC⊥DM
所以SC⊥截面MAB。
点评：立体几何中有些问题的证明，可以转化为平面几何证明来解决，即考虑在一个平面上的证明时运用平面几何知识。 题型7：解析几何问题
例7．（1）设x、y∈R且3x2＋2y2＝6x，求x2＋y2的范围。
分析：设k＝x2＋y2，再代入消去y，转化为关于x的方程有实数解时求参数k范围的问题。其中要注意隐含条件，即x的范围。
解析：由6x－3x2＝2y2≥0得0≤x≤2。
设k＝x2＋y2，则y2＝k－x2，代入已知等式得：x2－6x＋2k＝0 ， 即k＝－
12x＋3x，其对称轴为x＝3。 2222由0≤x≤2得k∈[0,4]。
所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。 另解：数形结合法（转化为解析几何问题）：
2y2由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，即表示如图所示椭圆，其一个顶点在坐标原点。
32222x＋y的范围就是椭圆上的点到坐标原点的距离的平方。由图可知最小值是0,距离最大的点是以原点为圆心的圆与椭圆相切的切点。设圆方程为x＋y＝k，代入椭圆中消y得x－6x＋2k＝0。由判别式△＝36－8k＝0得k＝4,所以x＋y的范围是：0≤x＋y≤4。
再解：三角换元法，对已知式和待求式都可以进行三角换元（转化为三角问题）：
222222222?x?1?cos?y?222由3x＋2y＝6x得(x－1)＋＝1，设?，则 63sin??y?2?233122222x＋y＝1＋2cosα＋cosα＋sinα＝1＋＋2cosα－cosα
2222＝－
15cos2α＋2cosα＋∈[0,4] 22所以x2＋y2的范围是：0≤x2＋y2≤4。
点评：题运用多种方法进行解答，实现了多种角度的转化，联系了多个知识点，有助于提高发散思维能力。此题还可以利用均值换元法进行解答。各种方法的运用，分别将代数问题转化为了其它问题，属于问题转换题型。
（2）（2020高考真题辽宁理3）已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|a?b|，则下面结论正确的是（ ）
(A) a∥b (B) a⊥b (C) |a|=|b| (D)a+b=a?b 解析：B；法一、由|a+b|=|a?b|，平方可得a?b=0, 所以a⊥b，故选B
法二、根据向量加法、减法的几何意义可知|a+b|与|a?b|分别为以向量a，b为邻边的平行四边形的两条对角线的长，因为|a+b|=|a?b|，所以该平行四边形为矩形，所以a⊥b，故选B
点评：本题主要考查平面向量的运算、几何意义以及向量的位置关系，属于容易题。解析一是利用向量的运算来解，解析二是利用了向量运算的几何意义来解。这种通过特殊值确定一般性结果的思路还有很多，如归纳、猜想、证明的方法，过定点问题，定值问题也可以用这样的思路。
题型8：具体、抽象问题
例8．（2020浙江卷（理）第12题）：若f（x）和g（x）都是定义在实数集R上的函数，且方程x－f［g（x）］＝0有实数解，则g［f（x）］不可能是（ ） （A）x＋x－
1111222
（B） x＋x＋ （C）x－ （D）x＋ 5555分析：本题直接解不容易，不妨令f（x）＝x，则f［g（x）］＝g（x），g［f（x）］＝g
2
（x），x－f［g（x）］＝0有实数解即x－g（x）＝0有实数解。这样很明显得出结论，B使x－g（x）＝0没有实数解，选B
这种从抽象到具体再到抽象，使学生从心理上感到非常轻松，象这样常见抽象函数式还有一次函数型f（x＋y）＝f（x）＋f（y）＋m，对数函数型f（xy）＝f（x）＋f（y），幂函数型f（xy）＝f（x）f（y）。
点评：把抽象问题具体化是在数学解题中常有的化归途径，它是对抽象问题的理解和再认识，在抽象语言与具体事物间建立联系，从而实现抽象向具体的化归。
题型9：正难则反转化问题
例9．（2020山东理20）等比数列?an?中，a1,a2,a3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a1,a2,a3中的任何两个数不在下表的同一列.
第一行 第二行 第三行 第一列 3 6 9 第二列 2 4 8 第三列 10 14 18 （Ⅰ）求数列?an?的通项公式；
（Ⅱ）若数列?bn?满足：bn?an?(?1)lnan，求数列?bn?的前2n项和S2n. 【解析】（Ⅰ）当意；当
a1?3时，不合题意；当
a1?2时，当且仅当
a2?6,a3?18时，符合题
a1?10时，不合题意。
由题意知a1?2,a2?6,a3?18,因为?an?是等比数列,所以公比为3,所以数列?an?的通
n?1项公式an?2?3.
n?1n?1（Ⅱ）因为bn?an?(?1)lnan=2?3?(?1)ln2?3, 所以Sn?b1?b2?L?bn?
(a1?a2?L?an)?(lna1?lna2?Llnan)ln(2n?1?31?32?L?3n?1)=
=
2(1?3n)1?3-
lna1a2an=
3n?1-
3?1S2n=3?1-ln(2?32n2nn-2n(2n?1)2ln(2?3nn(n?1)2),所以
)=9n?1-2nln2?(2n2?n)ln3。
点评：一些数学问题，如果从条件出发，正面考虑较难较繁，不妨调整思考方向，从问题的结论入手，或从问题的条件与结论的反面入手进行思考，迂回地得到解题思路，这叫做“正难则反”。“正难则反”是一种重要的解题策略，灵活用之，能使许多难题、趣题和生活中的问题获得巧解。 题型10：实际应用问题
例10．把一块钢板冲成上面是半圆形，下面是矩形的零件，其周长是P，怎样设计才能使冲成的零件面积最大？并求出它的最大面积。
分析：这个实际问题可以转化成一个函数的最值问题来解决。
解析：如图，设矩形的一边长为x,则半圆的周长为
?x21?x2P?(??2)x)=矩形的另一边长为AB?(P?x?
224设零件的面积为S，则 S=
A ·O D 1?22P?(??2)x??42PB ?x?x?x?x =?24482b2PP∵a＜0 ∴当x??时，S有最大值，这时AB=。 ?2a??4??4x C P2∴当矩形的两邻边AB与BC之比为1︰2时，Smax=。
8?2?点评：实际问题转化为数学问题，用数学结果解释最终的实际问题。 【方法技巧】
1．熟练、扎实地掌握基础知识、基本技能和基本方法是转化的基础；丰富的联想、机敏细微的观察、比较、类比是实现转化的桥梁；培养训练自己自觉的化归与转化意识需要对定理、公式、法则有本质上的深刻理解和对典型习题的总结和提炼，要积极主动有意识地去发现事物之间的本质联系。“抓基础，重转化”是学好中学数学的金钥匙。
2．为了实施有效的化归，既可以变更问题的条件，也可以变更问题的结论，既可以变换问题的内部结构，又可以变换问题的外部形式，既可以从代数的角度去认识问题，又可以从几何的角度去解决问题。
3．注意紧盯化归目标，保证化归的有效性、规范性
化归作为一种思想方法，应包括化归的对象、化归的目标、以及化归的方法、途径三个要素。因此，化归思想方法的实施应有明确的对象、设计好目标、选择好方法，而设计目标是问题的关键。设计化归目标时，总是以课本中那些基础知识、基本方法以及在应用上已形成固定的问题（通常称为规范性问题）为依据，而把要解决的问题化归为成规律问题（即问题的规范化）。化归能不能如期完成，与化归方法的选择有关，同时还要考虑到化归目标的设计与化归方法的可行性、有效性。因此，在解题过程中，必须始终紧紧盯住化归的目标，即应该始终考虑这样的问题：怎样才能达到解原问题的目的。在这个大前提下实施的化归才是卓有成效的，盲目地选择化归的方向与方法必将走入死胡同。
4．注意化归的等价性，确保逻辑上的正确 化归包括等价化归和非等价化归，等价化归后的新问题与原问题实质是一样的，不等价化归则部分地改变了原对象的实质，需对所得结论进行必要的修正。高中数学中的化归大多要求等价化归，等价化归要求转化过程中的前因后果既是充分的，又是必要的，以保证转化后的结果为原题的结果。如果在解题过程中没有注意化归的等价性，就会犯不合实际或偷换论题、偷换概念、以偏概全等错误。例如在解应用题时要注意原题中数量的实际意义，在经过数学变换后，应将所得的结果按实际意义检验；解方程或不等式时应注意变换的同解性是否仍然保持。
数学思想方法的学习是一个潜移默化的过程，没有一个统一的模式可以遵循，而是在多方领悟、反复应用的基础上形成的，化归也不例外。学生在解题过程中，必须根据问题本身提供的信息，利用动态的思维，多方式、多途径、有计划、有步骤地反复渗透，要善于反思解题过程，倒摄解题思维，回味解题中所使用的思想，去寻求有利于问题解决的化归途径和方法。正如笛卡尔所说的：走过两遍的路就是方法。 【专题训练】
一、填空题
1．已知向量a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝52，则|b|＝________. 2．函数f(x)＝x＋1－x的值域为________．
3．在等比数列{an}中，a1＝a，前n项和为Sn，若数列{an＋1}成等差数列，则Sn＝________.
→→→→
4．在各棱长都等于1的正四面体OABC中，若点P满足OP＝xOA＋yOB＋zOC(x＋y＋z＝1)，→
则|OP|的最小值等于________．
172
5．已知函数f(x)＝－sinx＋sin x＋a，若1≤f(x)≤对一切x∈R都成立，则参数a4的取值范围为____________．
2020届高三数学二轮复习(3)转化与化归思想精品教学案
