矩阵相关结论的一些证明

矩阵相关结论的一些证明

摘要：有关矩阵的秩的等式或不等式的证明，常常和向量组的秩，线性方程的解等相联系，推证有一定难度，也有一定的技巧，熟记关于矩阵的秩的一些结论，对有关问题的论证会有很大帮助。

1. 证明:r(A﹢B)≤r(A)﹢r(B)

?,?,…,??, ?=??,?,...,??

则 ?+?=??+?,?+?,…,?+??

证 设?=?12n12n1122nn不妨设?列向量的极大线性无关组为线性无关组为则

?,?12,…,

?r. (1?r?n)；?列向量的极大

?11，

?2，…

?s. (1?s?n).

;

??k?+k?+…+k? ?=l?+l?+…+l?;

ii1i22irii11i22issr则

?+?= k?+k?iii11i22+…+,…,

k?+l?+l?irri11i22+…+

l?iss;

即?+?的列向量可由

?,?12?，?r1，

?2，…

?s线性表出，

故r(???)?r?s?r(?)?r(?). 2. 若??=?,则r(A)?r(B)?n.

证 记 B?(?,?12,...,?)，由??=?，知?的每一列都是AX??解,即

n????，i=1,2,…,n

i又因AX??的基础解系所含向量个数为n?r(A),

换言之, AX??的所有解所构成的向量组的秩为n?r(A).故r(B)?n?r(A), 即r(A)?r(B)?n. 3. 若

A2?E， 证明r(A?E)+r(A?E)=n.

证

A2?E,A?E ,A?E=(A?E)(A?E)??,

2222由结论2知r(A?E)+r(A?E)?n;

2E?(E?A)?(E?A) 再由结论1知r(A?E)+r(A?E)?r(2E)?n,

综上所述, r(A?E)+r(A?E)=n. 4

1 / 1