2016考研数学一真题及解析
2016年考研数学一真题及解析
一、选择题：1~8 小题，每小题4 分，共32 分.下列每题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸指定的位置上. ．．．(1) 若反常积分
?
??
0
1
dx收敛，则
xa(1?x)b
（A）a?1且b?1 （B）a?1且b?1
（C）a?1且a?b?1 （D）a?1且a?b?1 【答】应选(C) 【解】注意到
11
x??在x?0为瑕积分，在为无穷限反常积分， 仅在x??ba
x?1?x?为无穷限反常积分，所以a?1,a?b?1. (2) 已知函数f(x)??
?2(x?1),x?1,
则f(x)的一个原函数是 x?1,?lnx,
?(x?1)2,x?1?(x?1)2,x?1
(A)F(x)??(B)F(x)??
x(lnx?1),x?1x(lnx?1)?1,x?1?? ?(x?1)2,?(x?1)2,x?1x?1
(C)F(x)??(D)F(x)??
?x(lnx?1)?1,x?1 ?x(lnx?1)?1,x?1
【答】应选D.
【解】由于原函数一定是连续，可知函数F?x?在x?1连续，而?A?、?B?、?C?中的函数在x?1处均不连续,故选D.
(3) 若y?(1?x2)2?1?x2，y?(1?x2)2?1?x2是微分方程y??p(x)y?q(x)的两
个解,则q(x)?( )
（A）3x(1?x) （B）?3x(1?x) （C）
2
2
xx （D）?1?x21?x2
【答】应选(A)
【解】分别将y?1?x2
??2
?1?x，y?1?x2
2??2
?1?x2带入微分方程
y??p?x?y?q?x?，两式做差，可得p?x???
带入，可得q?x??3x1?x
xx
. 两式做和，并且将px????1?x21?x2
?2
?.
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?x,?
(4) 已知函数f(x)??1
,??n
则 11
?x?,n?1,2,?n?1n
x?0,
（A）x?0是f(x)的第一类间断点. （B）x?0是f(x)的第二类间断点. （C）f(x)在x?0处连续但不可导. （D）f(x)在x?0处可导. 【答】应选(D)
f?x??f?0?x
?lim?1 【解】f(x)?lim
x?0?x?0?xx?0
'
?
f?'(x)?lim?
x?0
f?x??f?0?f?x?f?x?n?111
?lim1??。当时，,由于?x??
x?0x?0xxnn?1n
f?x?n?1'
?1。故f?x?在x?0处可导，lim?1，由夹逼定理可知：f?(x)?lim
n??nx?0?x
选?D?。
(5) 设A,B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是 （A）AT与BT相似 （B）A?1与B?1相似 （C）A?AT与B?BT相似 （D）A?A?1与B?B?1相似 【答】应选(C).
【解】因为A与B相似，所以存在可逆矩阵P，使得PAP?B,两端取转置与逆可得：
?1
PTAT?PT??BT,P?1A?1P?B?1,P?1?A?A?1?P?B?B?1,可知?A?、?B?、?D?均正
?1
确,故选择?C?.
222
(6) 设二次型f(x1,x2,x3)?x1?x2?x3?4x1x2?4x1x3?4x2x3，则f(x1,x2,x3)?2在空
间直角坐标下表示的二次曲面为
（A）单叶双曲面 （B）双叶双曲面 （C）椭球面 （D）柱面 【答】应选(B)
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?122???
【解】求出二次型矩阵的特征值.设A??212?.
?221???
?2????1?2
?2
?E?A???2??1?2???1??4??5?,从而可知二次型的正惯性?????
??2?2??1???
指数为1,负惯性指数为2,从而二次型f(x1,x2,x3)?2表示双叶双曲面,故选择(B).
注解:
方程表示单叶双曲面;
方程表示双叶双曲面;
方程表示椭球面;
方程表示柱面.
(7) 设随机变量X~N(?,?)(??0),记p?P{X????},则
(A)p随着?的增加而增加 (B)p随着?的增加而增加
(C)p随着?的增加而减少 (D)p随着?的增加而减少 【答】(B)
【解】将X标准化，p?P{X????}?P{X????}?P{2
2
22
X?????}
从而可知，p随着?增加而增加
(8) 随机试验E有三种两两不相容的结果A1,A2,A3,且三种结果发生的概率均为
1
.将试验3
E独立重复做2次,X表示2次试验中结果A1发生的次数,Y表示2次试验中结果A2发生
的次数，则X与Y的相关系数为 (A) ?
1111 (B) ? (C) (D) 2332
【答】?A?
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