高中数学竞赛指导(第四讲)

第四讲 三角函数性质及其应用

赛点直击

一、 三角函数线及其应用

在单位圆中（如图所示），设单位圆与x轴正向交于A点,与y轴正向交于B点，并设α角与单位圆交于P点，过P点作PM⊥x轴与M点，过A点作AT⊥x轴交α终边或其延长线（α在二三象限）于T点，过B点作BS⊥y轴交α终边或其延长线（α在三四象限）于S点，则 →→

sinα＝MP 的数量，cosα＝OM 的数量

→→

tanα＝AT 的数量，cotα＝BS的数量 y BPOSTMA 三角函数用三角函数线表示，即可以实现数向形的转化，由单位圆中函数线不难看出：

（1）|sinα|≤1 ，|cosα|≤1；

π

（2）sinα＜α＜tanα , α∈(0,) (实质为SΔOPM

2＜S扇形OPA＜SΔOAT) 二、三角函数值

1.三角函数的诱导公式(不列出，参照课本) 2.八个基本关系

平方关系：sin2α＋cos2α＝1, tan2α＋1＝sec2α, cot2α＋1＝csc2α .

sinαcosα

商的关系：tanα＝ , cotα＝ .

cosαsinα11

倒数关系：cscα＝ , secα＝,

sinαcosα

1

cotα＝ . tanα

三、三角函数的性质

1.正、余弦函数的有界性 2.三角函数的单调性 3.三角函数的奇偶性 4.三角函数的周期性

赛题解析

【例一】 设x∈[0,π]，试比较cos(sinx)与sin(cosx)的

大小.

π

解：令x＝0,,π，分别代入cos(sinx)和sin(cosx)，易

2得: cos(sinx)＞sin(cosx);

πππ

又当＜x＜π时，0＜sinx＜1＜, －＜－1＜cosx＜0,

222则cos(sinx)＞0＞sin(cosx).

π

下面证明当0＜x＜时，cos(sinx)＞sin(cosx),即只需证

2π

明sin(－sinx)＞sin(cosx)

2

ππππ

因为0＜x＜，则0＜－sinx＜,0＜cosx＜1＜.故只

2222ππ

需证明：－sinx＞cosx，即证明：sinx＋cosx＜,而sinx

22π

＋cosx≤2＜成立.

2

π

(注：最后一步是因为sinx＋cosx＝2sin(x＋)≤2).

4

【例二】 已知x是第二象限角，且sinx＋cosx＝a(|a|≠1)，

求下列各式的值： (1)tanx－cotx;