专题能力训练16 直线与圆
能力突破训练
1.(2017内蒙古包头一模)已知圆E经过三点A(0,1),B(2,0),C(0,-1),且圆心在x轴的正半轴上,则圆E的标准方程为( )
A.
+y2=
B.
+y2=
C.
+y2=
D.
+y2=
A. B.2 C. D.
3.已知直线y=kx+3与圆(x-1)+(y+2)=4相交于M,N两点,若|MN|≥2是( ) A.
B.
22
,则实数k的取值范围
C. D.
2
2
4.已知实数a,b满足a+b-4a+3=0,函数f(x)=asin x+bcos x+1的最大值记为φ(a,b),则φ(a,b)的最小值是( ) A.1
B.2
C.
+1 D.3
2
5.(2017中原名校联考)已知两条直线l1:x+ay-1=0和l2:2ax-y+1=0.若l1⊥l2,则a= .
2222
6.已知圆(x-a)+(y-b)=r的圆心为抛物线y=4x的焦点,且直线3x+4y+2=0与该圆相切,则该圆的方程为 .
2
7.已知圆C的圆心与抛物线y=4x的焦点F关于直线y=x对称,直线4x-3y-2=0与圆C相交于A,B两点,且|AB|=6,则圆C的方程为 .
2
8.已知P是抛物线y=4x上的动点,过点P作抛物线准线的垂线,垂足为点M,N是圆
22
(x-2)+(y-5)=1上的动点,则|PM|+|PN|的最小值是 . 9.在平面直角坐标系xOy中,以坐标原点O为圆心的圆与直线x-(1)求圆O的方程;
(2)若圆O上有两点M,N关于直线x+2y=0对称,且|MN|=2
,求直线MN的方程;
的
y=4相切.
(3)设圆O与x轴相交于A,B两点,若圆内的动点P使|PA|,|PO|,|PB|成等比数列,求取值范围.
- 1 - 10.
已知圆O:x2
+y2
=4,点A(
,0),以线段AB为直径的圆内切于圆O,记点B的轨迹为Γ.
(1)求曲线Γ的方程;
(2)直线AB交圆O于C,D两点,当B为CD的中点时,求直线AB的方程.
11.已知过点A(0,1)且斜率为k的直线l与圆C:(x-2)2+(y-3)2
=1交于M,N两点. (1)求k的取值范围; (2)若
=12,其中O为坐标原点,求|MN|.
思维提升训练
12.(2017全国Ⅲ,理12)在矩形ABCD中,AB=1,AD=2,动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上.若=λ+μ,则λ+μ的最大值为( ) A.3
B.2
C.
D.2
13.已知点A(-1,0),B(1,0),C(0,1),直线y=ax+b(a>0)将△ABC分割为面积相等的两部分,则b的取值范围是 ( A.(0,1)
B.
C. D.
14.(2017江苏,13)在平面直角坐标系xOy中,A(-12,0),B(0,6),点P在圆O:x2
+y2
=50上.若
≤20,则点P的横坐标的取值范围是 .
15.已知直线l:mx+y+3m-=0与圆x2+y2=12交于A,B两点,过A,B分别作l的垂线与x轴交于
C,D两点.若|AB|=2
,则|CD|= .
16.
如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M:x2+y2
-12x-14y+60=0及其上一点A(2,4).
(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x=6上,求圆N的标准方程; (2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B,C两点,且BC=OA,求直线l的方程; (3)设点T(t,0)满足:存在圆M上的两点P和Q,使得,求实数t的取值范围.
17.已知以点C(t∈R,t≠0)为圆心的圆与x轴交于点O,A,与y轴交于点O,B,其中O为原
点.
(1)求证:△AOB的面积为定值;
- 2 - ) (2)设直线2x+y-4=0与圆C交于点M,N,若|OM|=|ON|,求圆C的方程;
(3)在(2)的条件下,设P,Q分别是直线l:x+y+2=0和圆C上的动点,求|PB|+|PQ|的最小值及此时点P的坐标.
参考答案
专题能力训练16 直线与圆
能力突破训练
1.C 解析用排除法,因为圆心在x轴的正半轴上,排除B;代入点A(0,1),排除A,D.故选C. 2.B 解析由题意,圆心为C(2,-3),半径为r=3,则△ECF的高h=d=,底边长为
l=2=2=4,所以S△ECF=4=2,故选B.
3.B 解析当|MN|=2线y=kx+3的距离为
时,在弦心距、半径和半弦长构成的直角三角形中,可知圆心(1,-2)到直
=1,即=1,解得k=-若使|MN|≥2,则k≤-
4.B 解析由题意知φ(a,b)=+1,且(a,b)满足a2+b2-4a+3=0,即(a,b)在圆
表示圆C上的动点(a,b)到原点的距
C:(a-2)2+b2=1上,圆C的圆心为(2,0),半径为1,
离,最小值为1,所以φ(a,b)的最小值为2.故选B.
5.0或 解析当a=0时,l1⊥l2,当a≠0时,由-2a=-1,解得a=,所以a=0或a=
6.(x-1)+y=1 解析因为抛物线y=4x的焦点坐标为(1,0),所以a=1,b=0.又根据
2
2
2
2
=1=r,所以圆的方程为(x-1)2+y2=1.
7.x+(y-1)=10 解析抛物线y=4x的焦点F(1,0)关于直线y=x的对称点C(0,1)是圆心,C到直线4x-3y-2=0的距离d=2
2
2
=1.
∵圆截直线4x-3y-2=0的弦长为6, ∴圆的半径r=∴圆方程为x2+(y-1)2=10.
8
-1 解析抛物线y2=4x的焦点为F(1,0),圆(x-2)2+(y-5)2=1的圆心为C(2,5),根据抛物
线的定义可知点P到准线的距离等于点P到焦点的距离,进而推断出当P,C,F三点共线时,点P到点C的距离与点P到抛物线的焦点距离之和的最小值为|FC|=,故
- 3 - |PM|+|PN|的最小值是|FC|-1=-1.
y=4的距离,
9.解(1)依题意,圆O的半径r等于原点O到直线x-即r==2.所以圆O的方程为x2+y2=4.
(2)由题意,可设直线MN的方程为2x-y+m=0. 则圆心O到直线MN的距离d=
由垂径定理,得+()=2,即m=±22
所以直线MN的方程为2x-y+=0或2x-y-=0.
(3)设P(x,y),由题意得A(-2,0),B(2,0). 由|PA|,|PO|,|PB|成等比数列, 得
即x-y=2. 因为
2
2
=x2+y2,
=(-2-x,-y)·(2-x,-y)=2(y2-1),
由此得0≤y<1.所以
的中点为
2
且点P在圆O内,所以10.解(1)设
的取值范围为[-2,0).
ABM,切点为N,连接OM,MN,则
|OM|+|MN|=|ON|=2,|AB|=|ON|-(|OM|-|MN|)=2-|OM|+|AB|,即|AB|+2|OM|=4.
取点A关于y轴的对称点A',连接A'B,
则|A'B|=2|OM|,所以|AB|+2|OM|=|AB|+|A'B|=4>|A'A|.
所以点B的轨迹是以A',A为焦点,长轴长为4的椭圆.其中,a=2,c=,b=1,故曲线Γ的
方程为+y=1.
(2)因为B为CD的中点,所以OB⊥CD,
则则x0(x0-设B(x0,y0), )+2
=0.
- 4 - 又=1,解得x0=,y0=±
则kOB=±,kAB=,则直线AB的方程为y=±(x-),
即x-y-=0或x+y-=0.
11.解(1)由题设,可知直线l的方程为y=kx+1.
因为l与C交于两点,所以
<1.
解得 所以k的取值范围为 (2)设M(x1,y1),N(x2,y2). 22 将y=kx+1代入方程(x-2)+(y-3)=1, 22 整理得(1+k)x-4(1+k)x+7=0. 所以x1+x2=,x1x2= =x1x2+y1y2 =(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=+8. 由题设可得+8=12,解得k=1, 所以l的方程为y=x+1. 故圆心C在l上,所以|MN|=2. 思维提升训练 12.A 解析建立如图所示的平面直角坐标系, 则A(0,1),B(0,0),D(2,1). 设P(x,y),由|BC|·|CD|=|BD|·r,得r=, 即圆的方程是(x-2)+y= 22 - 5 -
新课标2018届高考数学二轮复习专题六直线圆圆锥曲线专题能力训练16直线与圆理
