5.4系统解耦问题
2. 特征量的性质
(1). 与传递函数矩阵??(??)相对应的状态空间表达式为{??,??,??}，且????为??的第??个行向量，
则有??(??)=??(???????)?????的特征量为：
??????,????为满足????????????=???≠0的最小值
???1，当??????????=0,??=0,1,?,???1<1>
????=????
????????
<2>
证明：由??(??)=??(???????)?????可得????(??)=????(???????)?????而(?????
??)???=
??
????
(???????
??
?????+?+??????+????)
其中：????=?????????????=????+?????1?????1+?+??1??+??0
???????=??,???????=??+?????1??,?,
????=?????1+?????1?????2+?+??1??
5.4系统解耦问题
则：????(??)=
??(????????????????????+?+????????????????????????+??????????????1??????????????+?+????????????+??????????)
????由????定义可知，????(??)中各元素分母和分子多项式的阶数之差的最小值为????+1，这表明与
???????,???????,?,?????????相关的系数矩阵为零，而????????????的系数矩阵不为零，即：?????????????=??，?????????????=??,?,???????????????=??,??????????????1??≠??
将???????,???????,?,?????????,????????????代入可得：
??????=??，????????=??,?,???????????1??=??,????????????≠??
即????是使????
??????
≠0成立的最小正整数。
而当????(??)=0，即??????????=0,(??=0,1,?,???1)，则规定????=???1故<1>式得证。
5.4系统解耦问题
由????的定义可得: ????=lim??????+1????????→∞
??????+1
=lim(????????????????????+?+????????????????????????+??????????????1??????????????+?+??????????)??→∞????=??????????????1??
=????(??????+?????1?????????+?+???????????)??
=????????????+?????1???????????????+?+???????????????=????????????
故特征量的性质(1)得证。
5.4系统解耦问题
(2). 对于任意的非奇异矩阵对{??，??}，状态反馈闭环系统的传递函数矩阵
??????(??)=??(???????+
??????则可表示为：????)????的两个特征量????和??
???????,??为满足??(???????)????≠0的最小值??????
????=???
???1，当????(???????)????=0,??=0,1,?,???1???????=????(???????)??????
根据性质( 1) 相同的方法可证。
(3) 对于任意的非奇异矩阵对{??，??}，开环系统和闭环系统的传递函数矩阵的特征量之间存在如下关系式：
????=????,
???=????????
??=1,2,?.??
5.4
四. 系统可解耦的条件
系统解耦问题
定理：给定??个输入??个输出的线性定常系统??=????+????
??=????
可采用输入变换和状态反馈矩阵??=?????+????进行解耦控制的充要条件，由系统传递函数矩阵每一行结构特性向量????组成的矩阵非奇异。
????????
??=?
????
证明：必要性：
已知存在控制??=?????+????，可使系统实现解耦，即闭环系统的传递函数矩阵为??????=????????[??11??,??22??,?,????????]，则E非奇异。
??∈????×??
现代控制理论系统解耦问题
