2015年全国中考数学试题分类汇编————压轴题
1. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线的解析式是y =
14x+1，点C的坐标为(–4，0)，平行
2四边形OABC的顶点A，B在抛物线上，AB与y轴交于点M，已知点Q(x，y)在抛物线上，点P(t，0)在x轴上. (1) 写出点M的坐标；
(2) 当四边形CMQP是以MQ，PC为腰的梯形时.
① 求t关于x的函数解析式和自变量x的取值范围； ② 当梯形CMQP的两底的长度之比为1：2时，求t的值.
114x?1?0x?t21(1)M(0,2)(2)1AC:y= 2x+1.PQ // MC.
=2
2. 如图，已知在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝3，P是线段AD边上的任意一点（不含端点
A、D），连结PC， 过点P作PE⊥PC交AB于E
（1）在线段AD上是否存在不同于P的点Q，使得QC⊥QE？若存在，求线段AP与AQ之间的数量关系；若不存在，请说明理由；
（2）当点P在AD上运动时，对应的点E也随之在AB上运动，求BE的取值范围．
P A D
（3）存在，理由如下： 如图2，假设存在这样的点Q，使得QC⊥QE. 由（1）得：△PAE∽△CDP，
E B
C
∴∴ ， ， ∵QC⊥QE，∠D＝90 ° ， ∴∠AQE＋∠DQC＝90 ° ,∠DQC＋∠DCQ＝90°， ∴∠AQE=∠DCQ. 又∵∠A=∠D=90°， ∴△QAE∽△CDQ， ∴∴∴即∴∴∴ ， ， ， ， . ，即P不能是AD的中点， ，
∵AP≠AQ，∴AP＋AQ＝3.又∵AP≠AQ，∴AP≠∴当P是AD的中点时，满足条件的Q点不存在，
综上所述，
的取值范围78 ≤ ＜2； 3.如图，已知抛物线y＝－x2＋x＋4交x轴的正半轴于点A，交y轴于点B．
21（1）求A、B两点的坐标，并求直线AB的解析式；
（2）设P（x，y）（x＞0）是直线y＝x上的一点，Q是OP的中点（O是原点），以PQ为对角线作正方形PEQF，若正方形PEQF与直线AB有公共点，求x的取值范围； （3）在（2）的条件下，记正方形PEQF与△OAB公共部分的面积为S，求S关于x的函数解析式，并探究S的最大值．
(1)令x=0,得y=4 即点B的坐标为(0,4) 令y=0,得(-1/2)x2+x+4=0
则x2-2x-8=0 ∴x=-2或x=4 ∴点A的坐标为(4,0) 直线AB的解析式为
(y-0)/(x-4)=(4-0)/(0-4) ∴y=-x+4
(2)由(1),知直线AB的解析式为y=-x+4 由y=-x+4与y=x联立,解得 其交点坐标为(2,2)
①当点P的坐标为(2,2)时,依题意可知点Q的坐标为(1,1) 正方形PEQF恰好在△OAB里面,此时正方形PEQF 与直线AB刚好有一公共点(2,2)
②又当点Q的坐标值越来越大时,正方形PEQF与直线AB恒有两个交点 ③而当点Q的坐标为(2,2),即点P的坐标为(4,4)时,正方形PEQF 恰好在△OAB的外面,此时正方形PEQF刚好与直线AB有一公共点(2,2) ④当点Q的坐标值大于2时,正方形PEQF与直线AB恒不相交,没有公共点 综上所述,点P的横坐标x的取值范围为[2,4] (3)∵Xq+|QE|=Xp=x 又Xq=x/2 ∴|QE|=x/2
即正方形PEQF的边长为x/2
①当点E、F在直线AB上时,正方形PEQF刚好被直线AB平分,EF为正方形 PEQF的对角线 则Xq+|QE|/2=2
∴x/2+(1/2)*(x/2)=2 ∴x=8/3
即正方形PEQF的边长为4/3
∴S=(1/2)*|QE|2=(1/2)×(4/3)2=8/9 ②当2≤x
花小姐丶xpH 2014-09-29
4.如图，P为正方形ABCD的对称中心，A（0，3），B（1，0），直线OP交AB于N，DC于M，点H从原点O出发沿x轴的正半轴方向以1个单位每秒速度运动，同时，点R从O出发沿OM方向以2个单位每秒速度运动，运动时间为t。求：
（1）C的坐标为 ； （2）当t为何值时，△ANO与△DMR相似？ （3）△HCR面积S与t的函数关系式；
并求以A、B、C、R为顶点的四边形是梯形 时t的值及S的最大值。
N O B H A P C x y D R M
5．（2010年浙江金华）如图，把含有30°角的三角板ABO置入平面直角坐标系中，A，B两点坐标分别为（3，0）和(0，33）.动点P从A点开始沿折线AO-OB-BA运动，点P在
3AO，OB，BA上运动的速度分别为1，置开始以
，2 (长度单位/秒)﹒一直尺的上边缘l从x轴的位
3
(长度单位/秒)的速度向上平行移动（即移动过程中保持l∥x轴），且分别与3
OB，AB交于E，F两点﹒设动点P与动直线l同时出发，运动时间为t秒，当点P沿折线AO-OB-BA运动一周时，直线l和动点P同时停止运动．请解答下列问题： （1）过A，B两点的直线解析式是 ；
（2）当t﹦4时，点P的坐标为 ；当t ﹦ ，点P与点E重合；
（3）① 作点P关于直线EF的对称点P′. 在运动过程中，若形成的四边形PEP′F为菱形，则t的值是多少？
② 当t﹦2时，是否存在着点Q，使得△FEQ ∽△BEP ?若存在, 求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．
y B E F l
O P A x 6．如图1、在平面直角坐标系中，O是坐标原点，□ABCD的顶点A的坐标为（－2，0），点D的坐标为（0，23），点B在x轴的正半轴上，点E为线段AD的中点，过点E的直线l与x轴交于点F，与射线DC交于点G。 （1）求?DCB的度数;
（2）连结OE，以OE所在直线为对称轴，△OEF经轴对称变换后得到△OEF?，记直线EF?与射线DC的交点为H。
①如图2，当点G在点H的左侧时，求证：△DEG∽△DHE; ②若△EHG的面积为33，请直接写出点F的坐标。
F y D E A O （图1）
B x G C E F A y D G H F? y C E x A O （图3）
B x D C O B
（图2）
7.△ABC中，∠A=∠B=30°，AB=23．把△ABC放在平面直角坐标系中，使AB的中点位
y C -1 -1 A 1 O 1 x 于坐标原点O(如图)，△ABC可以绕点O作任意角度的旋转．
(1) 当点B在第一象限，纵坐标是(2) 如果抛物线y探究：
① 当a?54?ax?bx?c262时，求点B的横坐标；
B (a≠0)的对称轴经过点C，请你
，b??12，c??355时，A，B两点是否都
在这条抛物线上？并说明理由；
② 设b=-2am，是否存在这样的m的值，使A，B两点不可能同时在这条抛物线
上？若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由．
8．如图,设抛物线C1:y?a?x?1??5, C2:y??a?x?1??5,C1与C2的交点为A, B,点A
的坐标是(2,4),点B的横坐标是－2.
22 （1）求a的值及点B的坐标；
（2）点D在线段AB上,过D作x轴的垂线,垂足为点H,
在DH的右侧作正三角形DHG. 记过C2顶点Ｍ的 直线为l,且l与x轴交于点N.
① 若l过△DHG的顶点G,点D的坐标为 (1, 2)，求点N的横坐标；
② 若l与△DHG的边DG相交,求点N的横坐标的取值范围.
9．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，AC=8．点P，Q都是斜边AB上的动点，点P从B 向A运动（不与点B重合），点Q从A向B运动，BP=AQ．点D，E分别是点A，B以Q，P为对称中心的对称点， HQ⊥AB于Q，交AC于点H．当点E到达顶点A时，P，Q同时停止运动．设BP的长为x，△HDE的面积为y． （1）求证：△DHQ∽△ABC；
（2）求y关于x的函数解析式并求y的最大值； （3）当x为何值时，△HDE为等腰三角形？
C
10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=3，BC=4，过点B作射线BBl∥AC．动点D从点
A出发沿射线AC方向以每秒5个单位的速度运动，同时动点E从点C出发沿射线AC方
BPEDQH A向以每秒3个单位的速度运动．过点D作DH⊥AB于H，过点E作EF上AC交射线BB1于F，G是EF中点，连结DG．设点D运动的时间为t秒． (1)当t为何值时，AD=AB，并求出此时DE的长度； (2)当△DEG与△ACB相似时，求t的值；
(3)以DH所在直线为对称轴，线段AC经轴对称变换后的图形为A′C′． ①当t>式；
②当线段A ′C ′与射线BBl，有公共点时，求t的取值范围(写出答案即可)．
11．如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）． （1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；
（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分
别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积
为S，A1、 B1的坐标分别为 (x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；
（3）在图1中，设点D坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度
沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若．．．不存在，请说明理由．
y D 35时，连结C′C，设四边形ACC′A ′的面积为S，求S关于t的函数关系
C1 O1 O B1 A1 x M
12．如图，在菱形ABCD中，AB=2cm，∠BAD=60°，E为CD边中点，点P从点A开始沿AC方向以每秒23cm的速度运动，同时，点Q从点D出发沿DB方向以每秒1cm的速度运动，当点P到达点C时，P，Q同时停止运动，设运动的时间为x秒 （1）当点P在线段AO上运动时. ①请用含x的代数式表示OP的长度；
②若记四边形PBEQ的面积为y，求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；
（2）显然，当x=0时，四边形PBEQ即梯形ABED，请问，当P在线段AC的其他位置时，以P，B，E，Q为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的x的值；若不能，请说明理由.
DQEAPOCB13．如图，已知△ABC∽△A1B1C1，相似比为k（k?1），且△ABC的三边长分别为a、
b、c（a?b?c），△A1B1C1的三边长分别为a1、b1、c1。
⑴若c?a1，求证：a?kc；
⑵若c?a1，试给出符合条件的一对△ABC和△A1B1C1，使得a、b、c和a1、b1、c1进都是正整数，并加以说明；
⑶若b?a1，c?b1，是否存在△ABC和△A1B1C1使得k?2？请说明理由。
14．如图，在平面直角坐标系中放置一矩形ABCO，其顶点为A（0，1）、B（－33，1）、
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C（－33，0）、O（0，0）．将此矩形沿着过E（－3，1）、F（－，0）的直
3线EF向右下方翻折，B、C的对应点分别为B′、C′． （1）求折痕所在直线EF的解析式；
（2）一抛物线经过B、E、B′三点，求此二次函数解析式；
（3）能否在直线EF上求一点P，使得△PBC周长最小？如能，求出点P的坐标；若不能，说明理由． 解：
15． 问题：已知△ABC中，?BAC=2?ACB，点D是△ABC内的一点，且AD=CD，BD=BA。 探究?DBC与?ABC度数的比值。 请你完成下列探究过程：
先将图形特殊化，得出猜想，再对一般情况进行分析并加以证明。 (1) 当?BAC=90?时，依问题中的条件补全右图。
观察图形，AB与AC的数量关系为 ；
当推出?DAC=15?时，可进一步推出?DBC的度数为 ； 可得到?DBC与?ABC度数的比值为 ；
(2) 当?BAC?90?时，请你画出图形，研究?DBC与?ABC度数的比值 是否与(1)中的结论相同，写出你的猜想并加以证明。
16.如图所示，已知抛物线y?14B(0,1)，点C(m,n)在该抛物线图象上，且以BC为直径的⊙M恰
x?x?k的图象与y轴相交于点
2好经过顶点A. （1）求k的值; （2）求点C的坐标；
（3）若点P的纵坐标为t，且点P在该抛物线的对称轴l上运动，试探 索：
①当S1?S?S2时，求t的取值范围（其中：S为△PAB的面积，S1为△OAB的面积，S2为四边
形OACB的面积）；
②当t取何值时，点P在⊙M上.（写出t的值即可）
17.如图1，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA在y轴的正半轴上，OC在
x轴的正半轴上，OA=1，OC=2，点D在边OC上且OD?54.
（1）求直线AC的解析式；
（2）在y轴上是否存在点P，直线PD与矩形对角线AC交于点M，使得△DMC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由. ．．．．
2（3）抛物线y??x经过怎样平移，才能使得平移后的抛物线过点D和点E（点E在
y轴正半轴上），且△ODE沿DE折叠后点O落在边AB上O′处？
18.如图1，已知抛物线经过坐标原点O和x轴上另一点E，顶点M的坐标为 (2,4)；矩形
ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3. （1）求该抛物线的函数关系式；
（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平
行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动，设它们运动的时．．．．．
间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）.
① 当t=
52时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；
② 设以P、N、C、D为顶点的多边形面积为S，试问S是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
y
M C B C y N M B · P D O (A) 图1 E x D O A 图2 E x 19．如图1，在平面直角坐标系中，点B在直线y?2x上，过点B作x轴的垂线，垂足为A，OA=5。若抛物线y?16x?bx?c过点O、A两点。 2（1）求该抛物线的解析式； （2）若A点关于直线y?2x的对称点为C，判断点C是否在该抛物线上，并说明理由； （3）如图2，在（2）的条件下，⊙O1是以BC为直径的圆。过原点O作O1的切线OP，P为切点（P与点C不重合），抛物线上是否存在点Q，使得以PQ为直径的圆与O1相切？若存在，求出点Q的横坐标；若不存在，请说明理由。
20．如图，在等边?ABC中，线段AM为BC边上的中线. 动点D在直线以CD．．AM上时，为一边且在CD的下方作等边?CDE，连结BE.
(1) 填空：?ACB?______度；
AD
(2) 当点D在线段．．AM上(点D不运动到点A)时，试求出BE的值；
(3)若AB?8，以点C为圆心，以5为半径作⊙C与直线BE相交于点P、Q两点，在点D运动的过程中(点D与点A重合除外)，试求PQ的长.
AA DA
20．如图，将含30°角的直角三角板ABC（∠A=30°）绕其直角顶点C逆时针旋转?角（0????90?），得到Rt△A'B'C，A'C与AB交于点D，过点D作DE∥A'B'交CB'于 点E，连结BE.易知，在旋转过程中，△BDE为直角三角形. 设 BC=1，AD=x，△BDE的 面积为S.
（1）当??30?时，求x的值.
（2）求S与x 的函数关系式，并写出x的取值范围； （3）以点E为圆心，BE为半径作⊙E，当S=
系，并求相应的tan?值.
21．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B＝90°，BC＝6，AD＝3，∠DCB＝30°.点E、F同时从B点出发，沿射线BC向右匀速移动.已知F点移动速度是E点移动速度的2倍，以EF为一边在CB的上方作等边△EFG．设E点移动距离为x（x＞0）.
⑴△EFG的边长是____（用含有x的代数式表示），当x＝2时，点G的位置在_______； ⑵若△EFG与梯形ABCD重叠部分面积是y，求 ①当0＜x≤2时，y与x之间的函数关系式； ②当2＜x≤6时，y与x之间的函数关系式；
⑶探求⑵中得到的函数y在x取含何值时，存在最大值，并求出最大值.
A D G 14S?ABC时，判断⊙E与A'C的位置关
B E→ F→ C
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