高中数学复习典型题专题训练115
离散型随机变量的期望与方差
知识内容
离散型随机变量的期望与方差
1．离散型随机变量的数学期望
定义：一般地，设一个离散型随机变量X所有可能的取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则E(x)?x1p1?x2p2?L?xnpn，叫做这个离散型随机变量X的均值或数学期望（简称期望）．
离散型随机变量的数学期望刻画了这个离散型随机变量的平均取值水平． 2．离散型随机变量的方差
一般地，设一个离散型随机变量X所有可能取的值是x1，x2，…，xn，这些值对应的概率是p1，p2，…，pn，则D(X)?(x1?E(x))2p1?(x2?E(x))2p2?L?(xn?E(x))2pn叫做这个离散型随机变量X的方差．
离散型随机变量的方差反映了离散随机变量的取值相对于期望的平均波动的大小（离散程度）．
D(X)的算术平方根D(x)叫做离散型随机变量X的标准差，它也是一个衡量离散型随机变量波动大小的量．
D(aX?b)?a2D(X)； 3．X为随机变量，a，b为常数，则E(aX?b)?aE(X)?b，4． 典型分布的期望与方差：
⑴二点分布：在一次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为p，在n次二点分布试验中，离散型随机变量X的期望取值为np．
⑵二项分布：若离散型随机变量X服从参数为n和p的二项分布，则E(X)?np，D(x)?npq(q?1?p)．
⑶超几何分布：若离散型随机变量X服从参数为N，M，n的超几何分布，
n(N?n)(N?M)MnM则E(X)?，D(X)?． 2N(N?1)N
典例分析
A．3
【例1】 投掷1枚骰子的点数为?，则?的数学期望为（ ）
B．3.5
C．4
D．4.5
1
【例2】 同时抛掷4枚均匀硬币80次，设4枚硬币正好出现2枚正面向上，2枚反面向
上的次数为?，则?的数学期望是（ ）
A．20 B．25 C．30 D．40
【例3】 从1，2，3，4，5，6这6个数中任取两个，则两数之积的数学期望为 ．
【例4】 一射手对靶射击，直到第一次命中为止，每次命中率为0.6，现共有4颗子弹，
命中后尚余子弹数目?的期望为（ ）
A．2.44 B．3.376 C．2.376 D．2.4
【例5】 一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概
1?）率为c（a、b、c??0，，已知他投篮一次得分的数学期望为2（不计其它
得分情况），则ab的最大值为（ ）
11A． B．
4824
C．
1 12 D．
1 6【例6】 一家保险公司在投保的50万元的人寿保险的保单中，估计每一千保单每年有
15个理赔，若每一保单每年的营运成本及利润的期望值为200元，试求每一保单的保费．
P2(P【例7】 甲乙两人独立解出某一道数学题的概率依次为P1，1?P2)，已知该题被甲或
乙解出的概率为0.8，甲乙两人同时解出该题的概率为0.3，求：
⑴PP2； 1，⑵解出该题的人数X的分布列及EX．
【例8】 甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示
2
只要面试合格就签约．乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人
1都不签约．设每人面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．求签约
2人数?的数学期望．
【例9】 某批发市场对某种商品的周销售量（单位：吨）进行统计，最近100周的统计
结果如下表所示：
周销售量 频数 2 20 3 50 4 30 ⑴根据上面统计结果，求周销售量分别为2吨，3吨和4吨的频率； ⑵已知每吨该商品的销售利润为2千元，（单位：?表示该种商品两周销售利润的和千元）．若以上述频率作为概率，且各周的销售量相互独立，求?的分布列和数学期望．
【例10】 某项考试按科目A、科目B依次进行，只有当科目A成绩合格时，才可继续参
加科目B的考试．已知每个科目只允许有一次补考机会，两个科目成绩均合格
2方可获得证书．现某人参加这项考试，科目A每次考试成绩合格的概率均为，
31科目B每次考试成绩合格的概率均为．假设各次考试成绩合格与否均互不影
2响．在这项考试过程中，假设他不放弃所有的考试机会，记他参加考试的次数为?，求?的数学期望E?．
3
【例11】 某同学如图所示的圆形靶投掷飞镖，飞镖落在靶外（环数记为0）的概率为0.1，
飞镖落在靶内的各个点是椭机的．已知圆形靶中三个圆为同心圆，半径分别为30cm、20cm、10cm，飞镖落在不同区域的环数如图中标示．设这位同学投
掷一次一次得到的环数这个随机变量X，求X的分布列及数学期望．
8910
【例12】 某商场经销某商品，根据以往资料统计，顾客采用的付款期数?的分布列为
? P 1 0.4 2 0.2 3 0.2 4 0.1 5 0.1 商场经销一件该商品，采用1期付款，其利润为200元；分2期或3期付款，其利润为250元；分4期或5期付款，其利润为300元．?表示经销一件该商品的利润． ⑴ 求事件A：“购买该商品的3位顾客中，至少有1位采用1期付款”的概率P(A)； ⑵ 求?的分布列及期望E?．
4
【例13】 学校文娱队的每位队员唱歌、跳舞至少会一项，已知会唱歌的有2人，会跳舞
的有5人，现从中选2人．设?为选出的人中既会唱歌又会跳舞的人数，且
7． 10⑴求文娱队的人数；
⑵写出?的概率分布列并计算期望． P(??0)?
【例14】 一接待中心有A、B、C、D四部热线电话．已知某一时刻电话A、B占线的
概率为0.5，电话C、D占线的概率为0.4，各部电话是否占线相互之间没有影响．假设该时刻有X部电话占线，试求随机变量X的概率分布和它的期望．
【例15】 某城市有甲、乙、丙3个旅游景点，一位客人游览这三个景点的概率分别是
5
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