3.2 立体几何中的向量方法
第1课时3.2.1 空间向量与平行关系
自主预习·探新知
情景引入
任何一种工具的发明，都是为了方便解决问题，蒸汽机的发明推动了工业革命；计算机的出现解决了复杂的运算问题，提升了运算速度；网络的发明与发展促进了全球化的发展与地球村的形成．向量作为一种工具，它的应用又体现在了哪些方面呢？
新知导学
1．用向量表示点的位置
(1)基点：在空间中，我们取__一定点O__作为基点．
→
(2)向量表示：空间中任意一点P的位置可以用__向量OP__来表示． →
(3)点的位置向量：点P的位置向量为__向量OP__. 2．用向量表示直线的位置 条件 直线l上一点A 表示直线l方向的向量a(即直线的__方向向量__) →→在直线l上取AB＝a，那么对于直线l上任意一点P，一定存在实数t，使得AP→＝__tAB__. 定位置 定点 点A和向量a可以确定直线的__位置__； 可以具体表示出l上的任意__一点__. 形式 作用 3．用向量表示平面的位置 (1)通过平面α上的一个定点O和两个向量a和b来确定. 条件 平面α内两条相交直线的方向向量a，b和交点O →形式 对于平面α上任意一点P，存在有序实数对(x，y)使得OP＝xa＋yb (2)通过平面α上的一个定点A和法向量来确定. 平面的法向量 确定平面位置 直线l⊥α，直线l的__方向向量a__，叫做平面α的法向量 过点A，以向量a为法向量的平面是完全确定的 4．用向量描述空间平行关系 设空间两条直线l、m的方向向量分别为a＝(a1，a2，a3)、b＝(b1，b2，b3)，两个平面α，
β的法向量分别为u＝(u1，u2，u3)，v＝(v1，v2，v3)，则有如下结论：
位置关系 向量关系 __a∥b__ __a⊥u__ __u∥v__ 向量运算关系 坐标关系 l∥m l∥α α∥β a＝kb，k∈R __a·u＝0__ a1＝kb1，a2＝kb2，a3＝kb3 __a1u1＋a2u2＋a3u3＝0__ u＝kv，k∈R u1＝kv1，u2＝kv2，u3＝kv3
预习自测
1．若A(1,0，－1)、B(2,1,2)在直线l上，则直线l的一个方向向量是( A ) A．(2,2,6) C．(3,1,1)
B．(－1,1,3) D．(－3,0,1)
→
[解析] AB＝(2,1,2)－(1,0，－1)＝(1,1,3)，∴选A．
2．设直线l的方向向量为a，平面α的法向量为b，若a·b＝0，则( D ) A．l∥α C．l⊥α
B．l?α D．l?α或l∥α
3．若平面α的法向量u＝(1,2，－1)，平面β的法向量v＝(－3，－6,3)，则α与β的关系为( A )
A．α∥β C．α⊥β
B．α与β相交但不垂直 D．以上均不正确
4．给出下列说法：①一个平面的法向量是唯一的；②一个平面的所有法向量都是同向的；③平面的法向量与该平面内的任一向量都是垂直的；④与一个平面的法向量共线的所有非零向量都是该平面的法向量．其中正确的说法是__③④__.
5．已知平面α外一直线l的方向向量u＝(1,3，－4)，平面α的法向量u＝(2，－2，－1)，则l与α的位置关系为__l∥α__.
互动探究·攻重难
互动探究解疑
命题方向? 直线的方向向量，平面的法向量
典例1 如图所示，在多面体A1B1D1DCBA中，四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正
方形，E为B1D1的中点，过A1，D，E的平面交CD1于F，求平面A1DE、平面A1B1CD的一个法向量．
[思路分析] 先设出平面A1DE、平面A1B1CD的法向量，利用法向量与平面内的两个向量的数量积为零，列出方程组求解．
[规范解答] ∵四边形AA1B1B，ADD1A1，ABCD均为正方形，∴AA1⊥AB，AA1⊥AD，AB⊥AD→→→
且AA1＝AB＝AD，以A为原点，分别以AB，AD，AA1为x轴，y轴和z轴建立如图空间直角坐标系，设AB＝AD＝AA1＝1，可得A(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0,1,0)，A1(0,0,1)，B1(1,0,1)，D1(0,1,1)，而E为B1D1的中点，
11
∴E(，，1)．
22
设平面A1DE的法向量n1＝(x1，y1，z1)， 11→→
又A1E＝(，，0)，A1D＝(0,1，－1)，
22→→
由n1⊥A1E，n1⊥A1D， 11??x1＋y1＝0，
2得?2??y1－z1＝0，
取z1＝1，
x1＝－1，??
则?y1＝1，??z1＝1，
则n1＝(－1,1,1)．
设平面A1B1CD的法向量n2＝(x2，y2，z2)， →→
由A1B1＝(1,0,0)，A1D＝(0,1，－1)，
??x2＝0，
而n2⊥A1B1，n2⊥A1D，所以?
??y2－z2＝0，
→→
x2＝0，??
令z2＝1，则?y2＝1，
??z2＝1，
┃┃跟踪练习1__■
，∴n2＝(0,1,1)．
(山西太原市2018－2019学年高二期末)若直线l的方向向量为m，平面α的法向量为n，则可能使l∥α的是( D )
A．m＝(1,0,0)，n＝(－2,0,0) B．m＝(1,3,5)，n＝(1,0,1) C．m＝(0,2,1)，n＝(－1,0，－1) D．m＝(1，－1,3)，n＝(0,3,1)
[解析] A中，m·n＝－2≠0，所以排除A；B中m·n＝1＋5＝6≠0，所以排除B；C中，
m·n＝－1，所以排除C；D中，m·n＝0，所以m⊥n，能使l∥α.故选D．
命题方向? 空间向量证明线面平行
典例2 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，M、N分别是C1C、B1C1的中点．求
证：MN∥平面A1BD.
[证明] 证法一：如图所示，以D为原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x轴、y轴、z1??1??D(0，
轴建立空间直角坐标系，设正方体的棱长为1，则可求得M?0，1，?、N?，1，1?、0,0)、
2??2??
A1(1,0,1)、B(1,1,0)，
1?→→?1→
于是MN＝?，0，?、DA1＝(1,0,1)、DB＝(1,1,0)．
2??2设平面A1BD的法向量是n＝(x，y，z)．
?x＋z＝0?→→
则n·DA1＝0，且n·DB＝0，∴?
??x＋y＝0
，
取x＝1，得y＝－1，z＝－1.∴n＝(1，－1，－1)．
1?→?1
又MN·n＝?，0，?·(1，－1，－1)＝0，
2??2→
∴MN⊥n，∵MN?平面A1BD， ∴MN∥平面A1BD.
→→→1→1→
证法二：∵MN＝C1N－C1M＝C1B1－C1C
221→→1→
＝(D1A1－D1D)＝DA1， 22→→
∴MN∥DA1，又∵MN?平面A1BD. ∴MN∥平面A1BD.
→1→→
证法三：由证法二知，MN＝DA1＋0·DB，
2
→→→→→→
即MN可用DA1与DB线性表示，故MN与DA1、DB是共面向量． →
∴MN∥平面A1BD，又MN?平面A1BD，即MN∥平面A1BD. 『规律总结』 证明直线l∥平面α的方法：
(1)可取直线l的方向向量a与平面α的法向量n，证明a·n＝0；
(2)可在平面α内取基向量{e1，e2}，证明存在实数λ1，λ2，使直线l的方向向量a＝
λ1e1＋λ2e2，然后说明l不在平面α内即可；
→
(3)在平面α内若能找到两点A、B，直线l的方向向量n∥AB，则l∥α. ┃┃跟踪练习2__■
在底面为正方形的四棱锥P－ABCD中，E是PC中点，求证：PA∥平面EDB.
→→→→1→→
[证明] 设DA＝a，DC＝b，DP＝c，则DE＝(b＋c)，DB＝a＋b，PA＝a－c，
2→→→∴PA＝DB－2DE， →→→
∴PA与DB、DE共面，
→→
∵DB、DE不共线，PA?平面BDE. ∴PA∥平面BDE.
命题方向? 空间向量证明面面平行
典例3 如图所示，在正方体ABCD－A1B1C1D1中．求证：平面A1BD∥平面CD1B1.
2020秋高中数学第三章空间向量与立体几何3.2.1空间向量与平行关系学案含解析人教A版选修2_1
