3Dx?Rx(0)?○
1?? 2均值为与t无关常数，自相关函数与t无关，瞬时功率有限，故平稳 9、若正态随机信号x(t)的相关函数为：
1??2①Rx(?)?be； ②Rx(?)?bsin????
试分别写出随机变量x(t)，x(t?1)，x(t?2)的协方差矩阵。 解：由已知得
2?Cx(?)?Rx(?)?mx??Cx(?)?Rx(?)?Rx(?) 2mx?Rx(?)?当Rx(?)?be1??2时，Cx(?)?Rx(?)?0?Rx(?)
?CX(0)CX(1)CX(2)??RX(0)RX(1)RX(2)?????C1??CX(1)CX(0)CX(1)??b?RX(1)RX(0)RX(1)??C(2)C(1)C(0)??R(2)R(1)R(0)?XXXX?X??X?1???1?2 e??1e??11????e21e2???1???1?2ee1????②当Rx(?)?bsin????时，Cx(?)?Rx(?)?0?Rx(?)
?RX(0)RX(1)RX(2)??100?????C2??RX(1)RX(0)RX(1)??b?010??R(2)R(1)R(0)??001?
XX?X???10、如果信号是实函数，在下列函数中，哪些是功率谱函数？
?2?2?(??1)??(?)； ①6； ②e； ③4??3?2?3??12w?41④； ⑤； ⑥ 2221??2?j?6(1??)1?2???解：由已知得，实函数的功率谱函数为实偶函数，应满足：
?Sx(??)?Sx(?)???Sx(?)?Sx(?)?S(?)?0?x(a)(b),(c)Sx2(?)?Sx?(?)Sx?(?)(d)
则可批判断⑤为功率谱函数，其中①不满足（d）；②不满足（a）；③SX(0)???(0)?0不满足（c）；④不满足（b）；⑥不满足（a）。
11、设x(t)，y(t)是相互独立的平稳信号，它们的均值至少有一个为零，功率谱为
?216，Y(?)?2，新的随机信号z(t)?x(t)?y(t)。求：①z(t)的功率X(?)?2??16??16谱；②x(t)和y(t)的互谱密度。
解：由已知得 mxgmy?0，x(t)，y(t)独立且平稳?z(t)平稳
Rz(?)?E??z(t),z(t??)??E??(x(t)?y(t))(x(t??)?y(t??)??E??x(t)x(t??)?y(t)y(t??)?x(t)y(t??)?y(t)x(t??)? ?Rx(?)?Ry(?)SZ(?)??RZ(?)e?j??d????????Rx(?)e?j??d???Ry(?)e?j??d?
?????Sx(?)?Sy(?)?1?Rxy(?)?E[x(t),y(t??)]?E[x(t)]E[y(t??)]?0?Sxy(?)?0
??12、已知平稳高斯信号x(t)的自相关函数为Rx(?)?4e。求x(t)的一阶概率密度函
数p(x)及二阶概率密度函数p(x1,x2)，其中x1?x(0)，x2?x(1)。
解：由平稳随机信号自相关函数的性质可得
E[x(t)] = Rx(?) = 0, D[x(t)] = Rx(0) = 4
则一阶概率密度函数p(x)?12??exp{?12?(x?mx)22?2x2}?exp{?}8 22?1对于二阶概率密度函数p(x1,x2)?1?1exp{?(x?mx)TCx(x?mx)} 2Cx其中Cx为x的协方差矩阵，mx为均值
?E[x1(t)x1(t)]E[x1(t)x2(t)]??Rx(0)Cx = ?? =??E[x2(t)x1(t)]E[x2(t)x2(t)]??Rx(1)Cx-1?1Rx(1)???4??e?1Rx(0)??e?1?? 1???1???14(1?e?2)???e1?e?1?? |Cx| = 4(1 - e-2) 1??p(x1, x2) =?1?exp??(x?mx)TCx?1(x?mx)??2?2?Cx1??11??22?1?exp?(x?x?2exx)?1212-2?8(1 - e)?4?(1 - e-2)??
13、令c(n)表示白噪声序列，s(n)表示一个与c(n)不相关的序列，y(n)?s(n)c(n)，
E(y)?my。试证明序列y(n)?s(n)c(n)是白色的，即E[y(n)y(n?m)]?A?(m)，式中A是常数。
证明：由已知得
E[c(n)]?0,Rc(m)??2?(m)?(1)E[y(n)]?E[s(n)c(n)]?E[s(n)]E[c(n)]?0(2)E[y(n)y(n?m)]?E[s(n)c(n)s(n?m)c(n?m)]
?E[s(n)s(n?m)]E[c(n)c(n?m)]??2?(m)E[s(n)s(n?m)]S(n)为一与C(n)不相关的序列?E[s(n)s(n?m)]为一常数
令?E[s(n)s(n?m)]?A?E[y(n)y(n?m)]?A?(m) 即得证。
14、设随机信号z(n)?x(n)?y，其中x(n)是一个平稳信号，y是一个与x(n)无关的随机变量。试讨论z(n)的遍历性。 解：由已知得，令E[x(n)]?x(m)?y,① 平稳性
2E[y]?my
mz(n)?E[z(n)]?E[x(n)?y]?E[x(n)]?E[y(n)]?mx?my与n无关
Rz(n,n?m)?E[z(n),z(n?m)]?E[(x(n)?y)(x(n?m)?y)]?E[(x(n)x(n?m)]?E[(x(n)y]?E[x(n?m)y]?E[y2]
?Rx(m)?mxmy?mxmy?Dy?Rx(m)?2mxmy?Dy与n无关
DZ?RZ(0)?Rx(0)?2mxmy?Dy?? 平稳
② 遍历性
NN11mZ?lim[z(n)]?lim[x(n)?y]??N??N?? 2N?1n??N2N?1n??N?mx?yNN不为常数，则信号z(n)不具有遍历性。 mZ习 题 四
1、令x(n)是一个平稳白噪声过程，它的均值为零，方差为?x。又令y(n)是冲激响应为h(n)的线性非移变系统在输入为x(n)时的输出。 证明：
（1）E[x(n)y(n)]?h(0)?； （2）???2x22y2xk????h(n)
22?证明：（1）由题条件：x(n)是一平稳白噪声，E[x(n)]?0，D[x(n)]??x
可知：其自相关函数Rx(m)??x?(m)，经过线性非移变系统得到的输出y(n)也是一个广义平稳信号。则：
2E[x(n)y(n)]?Rxy(0)?h(m)*Rx(m)m?0?h(m)*??(m)2?h(0)?x2xm?0；
（2）因为 E[y(n)]?mxH(0)?0
2? ?y?D[y(n)]?E[y(n)]2 ?E[y2(n)]?Ry(m)m?0 ?h(?m)*h(m)*Rx(m)m?02 ?h(?m)*h(m)*?x?(m)2 ?h(?m)*h(m)?x?m?0
m?02xm?0 ???n???2x??h(n?m)h(n)?n????h(n)222、令x(n)是白色随机序列，其均值为零，方差为?x。设有一个级联系统，由两个线
性非移变时域离散系统按图4－6的形式构成，x(n)是它的输入。
（1）???2y2x?hk?0??21(k)是否正确？
（2）????22y?hk?022(k)是否正确？
nn（3）令h1(n)?au(n)和h2(n)?bu(n)。试确定图4－6的整个系统的单位取样响应，
并由此求出??。如果你认为问题（2）是正确的，那么它与问题（3）的答案是否一致？
x(n) 2h1(n) y(n) h2(n) w(n)
图4－6 习题2用图
解：（1）正确
y(n)?k????h(k)x(n?k)
1?Qmy(n)?E[y(n)]?E[?h1(k)x(n?k)]k?????k????h(k)E[x(n?k)]
1k?????mx?0?h(k)1?(mx?0)
2?y?E[y(n)?my]2?E[y(n)]2?E[?h1(k)x(n?k)]k????2Qx(n)为白噪声，Qx(k),x(j)互不相关，即Rkj?0 ?[?h1(k)x(n?k)]?2k????k????h?21(k)x2(n?k)
???2yk???2??x?h??21(k)E[x(n?k)]2
k?????h12(k)2y2xx(n)为因果序列时，????hk?021(k)
现代数字信号处理课后习题解答
