陕西省汉中市2024届新第一次高考模拟考试数学试卷含解析

（1）由已知条件得出b、c的值，进而可得出a的值，由此可求得椭圆C的方程；

（2）设点M?x1,m?，可得N??x1,m?，且x1?0，?1?m?1，求出直线BM的斜率，进而可求得直线BD与AN的方程，将直线直线BD与AN的方程联立，求出点D的坐标，即可证得结论. 【详解】

?b?1?（1）由题设，得?，所以a2?b2?c2?4，即a?2．

??c?3x2故椭圆C的方程为?y2?1；

4（2）设M?x1,m?，则N??x1,m?，x1?0，?1?m?1． 所以直线BM的斜率为

m???1?m?1?，

x1?0x1x11?因为直线BD、BM的斜率的积为?，所以直线BD的斜率为．

4?m?1?4x11?my??x?1． x?1，直线BD的方程为直线AN的方程为y?4?m?1?x11?m?12y?x?12??x?m?11x1?联立?，解得点D的纵坐标为yD?4．

1x221?y???x1?m?1x?14?4?m?1??x12因为点M在椭圆C上，所以?m2?1，则yD?0，所以点D在x轴上．

4【点睛】

本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了点在定直线的证明，考查计算能力与推理能力，属于中等题. 21．在ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知a3b，且

(a?b?c)(sinA?sinB?sinC)?csinC?2asinB.

（1）求cosC的值；

（2）若ABC的面积是22，求ABC的周长. 【答案】（1）cosC?【解析】 【分析】

（1）由正弦定理可得,(a?b?c)(a?b?c)?c?2ab,化简并结合a23；（2）2?23?22 33b,可求得a,b,c三者间的关系,

代入余弦定理可求得cosC;

（2）由（1）可求得sinC,再结合三角形的面积公式,可求出a,b,c,从而可求出答案. 【详解】

（1）因为(a?b?c)(sinA?sinB?sinC)?csinC?2asinB, 所以(a?b?c)(a?b?c)?c?2ab,整理得:a2?b2?2c2. 因为a223b,所以4b?2c,所以c?22b.

a2?b2?c23b2?b2?2b23. 由余弦定理可得cosC???22ab32?3b（2）由（1）知cosC?63,则sinC?1?cos2C?, 331absinC?22, 2因为ABC的面积是22,所以即

16?3b2??22,解得b?2,则a?23,c?22. 23故ABC的周长为:2?23?22. 【点睛】

本题考查了正弦定理、余弦定理在解三角形中的应用,考查了三角形面积公式的应用,属于基础题. 22．已知函数f(x)?alnx?（1）求a,b的值；

（2）若函数g(x)?xf(x)，讨论g(x)的单调性与极值； （3）证明：f(x)?b24的图象在x?1处的切线方程是y?(1?)x??1. exee1. xe【答案】（1）a?1,b?2；（2）g(x)单调递减区间为?0,为

??1??1?,??，单调递增区间为??，g(x)的极小值??e?e?1，无极大值；（3）见解析. e【解析】 【分析】

（1）切点既在切线上又在曲线上得一方程，再根据斜率等于该点的导数再列一方程，解方程组即可； （2）先对g(x)?xf(x)求导数，根据导数判断和求解即可.

（3）把证明lnx?212x2?x(x?0)转化为证明xlnx??x(x?0)，然后证明xlnx?极小值大于

eexeeex(x?0)极大值即可. xe【详解】

解：（1）函数f(x)的定义域为(0,??)

b2?f(1)????abee由已知得f?(x)??2，则?，解得a?1,b?2.

b2xex?f?(1)?a??1??ee?（2）由题意得g(x)?x?f(x)?xlnx?2(x?0)，则g?(x)?lnx?1. e当x?(0,)时，g?(x)?0，所以g(x)单调递减， 当x?(,??)时，g?(x)?0，所以g(x)单调递增，

所以，g(x)单调递减区间为(0,)，单调递增区间为(,??)，

1e1e1e1e11g(x)的极小值为g()?，无极大值.

ee（3）要证lnx?21?(x?0)成立， exex只需证xlnx?令h?x??2x?x(x?0)成立. ee1?xx?h(x)?，则， xxee?当x?(0,1)时，h(x)?0,h(x)单调递增， 当x?(1,??)时，h(x)?0,h(x)单调递减， 所以h(x)的极大值为h(1)，即h(x)h(1)?由（2）知，x?(0,??)时，g(x)g()??1 e1e1，且g(x)的最小值点与h(x)的最大值点不同，所以exlnx?2x21?x，即lnx??x. eeexe1. ex所以，f(x)?【点睛】

知识方面，考查建立方程组求未知数，利用导数求函数的单调区间和极值以及不等式的证明；能力方面，考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力以及运算求解能力；试题难度大. 23． [选修4

5：不等式选讲]

a2b2c2d2b,c,d都是正实数，且a?b?c?d?1，求证: 已知a,???1?a1?b1?c1?d【答案】见解析 【解析】

1． 5?a2b2c2d2?试题分析：把不等式的左边写成???1?a???1?b???1?c???1?d????1?a?1?b?1?c?1?d?形式，

??利用柯西不等式即证．

?a2b2c2d2?试题解析：证明：∵???1?a???1?b???1?c???1?d????1?a?1?b?1?c?1?d?

??abcd????1?a??1?b??1?c??1?d??

1?a1?b1?c1?d????a?b?c?d??1，

又?1?a???1?b???1?c???1?d??5，

22a2b2c2d21∴???? 1?a1?b1?c1?d5考点：柯西不等式