陕西省汉中市2021届新第一次高考模拟考试数学试卷含解析

解：因为轴截面是正方形，且面积是36， 所以圆柱的底面直径和高都是6

V??r2h???32?6?54?

故答案为：54? 【点睛】

考查圆柱的轴截面和其体积的求法，是基础题.

16．函数f(x)?4cos?xsin(?x?)?2(??0)的最大值与最小正周期相同，则f(x)在[?1,1]上的单调递

4增区间为______. 【答案】[?【解析】 【分析】

利用三角函数的辅助角公式进行化简，求出函数的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可． 【详解】

∵f(x)?4cos?x(?13,] 4422sin?x?cos?x)?2 22?22sin?xcos?x?22cos2?x?2 ?2sin2?x?2cos2?x

?2sin(2?x?)， 4则函数的最大值为2，周期T?2???， 2???f(x)的最大值与最小正周期相同，

???2，得??，

2??则f(x)?2sin(?x?)，

45???x?当?1x1时，?44?则当?3?， 4?2?x??4?2时，得?13x， 4413,]， 44即函数f(x)在[?1，1]上的单调递增区间为[?故答案为：[?【点睛】

13,]. 44本题考查三角函数的性质、单调区间，利用辅助角公式求出函数的解析式是解决本题的关键，同时要注意

单调区间为定义域的一个子区间．

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．已知凸n边形A1A2A3边AiAi?1?ai(i?1,2,【答案】证明见解析 【解析】 【分析】

由已知，易得a1d1?a2d2?????andn?2，所以

?aa2aa?2a12a2??????n?2?1?2?????n???a1d1?a2d2?d1d2dndn??d1d2?aa?andn??1?2??d1d2?an??利用柯西不等式和基dn?An的面积为1，边长AiAi?1?ai(i?1,2,,n?1)，AnA1?an，其内部一点P到

,dn.求证：

,n?1)的距离分别为d1,d2,d3,2a12a2??d1d2?2an?(nna1a2dnan)2.

本不等式即可证明. 【详解】

因为凸n边形的面积为1，所以a1d1?a2d2?????andn?2，

?aa2aa?2a12a2??????n?2?1?2?????n? d1d2dndn??d1d2?aa?andn??1?2??d1d2?an?? dn?所以

??a1d1?a2d2?(a1d1a1a?a2d22?d1d22?andnan2)（由柯西不等式得） dn??a1?a2?????an?

(nna1a2an)2（由均值不等式得）

【点睛】

本题考查利用柯西不等式、基本不等式证明不等式的问题，考查学生对不等式灵活运用的能力，是一道容易题. 18．已知函数（Ⅰ）若（Ⅱ）若围．

【答案】（Ⅰ）【解析】

；（Ⅱ）

.

，求的取值范围； ，对

，

，都有不等式

恒成立，求的取值范

，

．

【分析】

（Ⅰ）由题意不等式化为（Ⅱ）由题意把问题转化为

，列出不等式求解即可．

【详解】 （Ⅰ）由题意知，若

，则不等式化为

， ，解得

；

，利用分类讨论法去掉绝对值求出不等式的解集即可；

，分别求出

和

若，则不等式化为，解得，即不等式无解；

若，则不等式化为，解得；

，

综上所述，的取值范围是（Ⅱ）由题意知，要使得不等式只需当因为

时，

，

恒成立，

，，所以当，

，

时，

即结合【点睛】

，解得

，所以的取值范围是

，

.

本题考查了绝对值不等式的求解问题，含有绝对值的不等式恒成立应用问题，以及绝对值三角不等式的应用，考查了分类讨论思想，是中档题．含有绝对值的不等式恒成立应用问题，关键是等价转化为最值问题，再通过绝对值三角不等式求解最值，从而建立不等关系，求出参数范围.

x2y219．在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C:2?2?1?a?0,b?0?的短轴长为2，直线l与椭圆C相

ab交于A,B两点，线段AB的中点为M.当M与O连线的斜率为?（1）求椭圆C的标准方程；

（2）若AB?2,P是以AB为直径的圆上的任意一点，求证：OP?3

1?时，直线l的倾斜角为 24x2【答案】（1）?y2?1；（2）详见解析.

2【解析】 【分析】

y1?y2b2x1?x2??2（1）由短轴长可知b?1，设A(x1,y1)，B(x2,y2)，由设而不求法作差即可求得，

x1?x2ay1?y2将相应值代入即求得a?2，椭圆方程可求；

（2）考虑特殊位置，即直线l与x轴垂直时候，OP?1?3成立，当直线l斜率存在时，设出直线l方程y?kx?m，与椭圆联立，结合中点坐标公式，弦长公式，得到m与k的关系，将|OM|表示出来，结

2合基本不等式求最值，证明最后的结果 【详解】

解：（1）由已知，得b?1

?x12y12?2?1?2?ab由?2，两式相减，得 2?x2?y2?1??a2b2y1?y2b2x1?x2??2

x1?x2ay1?y2根据已知条件有， 当

x1?x2y?y??2时，12?1

x1?x2y1?y2b21∴2?，即a?2 a2x2∴椭圆C的标准方程为?y2?1

2（2）当直线l斜率不存在时，OP?1?3，不等式成立. 当直线l斜率存在时，设l:y?kx?m

由??y?kx?m2222k?1x?4kmx?2m?2?0 得??22?x?2y?2?4km2m2?222∴x1?x2?，,xx???16k?8m?8?0 12222k?12k?1m?4k2?12??2km,2m2 ?,OM?2∴M?2?2k?12k?1??2k2?1?由AB?1?k2221?2k2?m2?2 22k?12k2?1 化简，得m?22k?22∴OM2?4k2?1?2k2?1?22k2?12k2?2

4k2?1??2k2?1??2k2?2?

令4k2?1?t?1，则

OM?24t4??t?1??t?3?t?3?4

t4??4?23 23?4当且仅当t?3时取等号 ∴OM?4?23?3?1

∵OP?OM?1 ∴OP?3

当且仅当k2?3?1时取等号 4综上，OP?3 【点睛】

本题为直线与椭圆的综合应用，考查了椭圆方程的求法，点差法处理多未知量问题，能够利用一元二次方程的知识转化处理复杂的计算形式，要求学生计算能力过关，为较难题 20．已知椭圆C的短轴的两个端点分别为A?0,1?、B?0,?1?，焦距为23． （1）求椭圆C的方程；

（2）已知直线y?m与椭圆C有两个不同的交点M、N，设D为直线AN上一点，且直线BD、BM的斜率的积为?1．证明：点D在x轴上． 4x2【答案】（1）（2）见解析. ?y2?1；

4【解析】 【分析】