高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线3.1双曲线及其
标准方程课时跟踪训练北师大版选修1
[A组 基础巩固]
1．双曲线－＝1上的点P到一个焦点的距离为11，则它到另一个焦点的距离为( )
2524A．1或21 C．2
B．14或36 D．21
x2y2
解析：设双曲线的左右焦点分别为F1，F2，不妨设|PF1|＝11，根据双曲线的定义知||PF1|－|PF2||＝2a＝10，所以|PF2|＝1或|PF2|＝21，而1 答案：D 2．与椭圆＋y＝1共焦点且过点Q(2,1)的双曲线方程是( ) 4A.－y＝1 2C.－＝1 33 2 x2 2 x2 2 B.－y＝1 4D．x－＝1 2 2 x2 2 x2y2y2 x2y2 解析：∵c＝4－1＝3，∴共同焦点坐标为(±3，0)，设双曲线方程为2－2＝1(a>0， ab41??2－2＝1， b>0)，则由?ab??a2＋b2＝3， 2 ??a＝2， 解得?2 ?b＝1，? 2 ∴双曲线方程为－y＝1. 2答案：A 3．已知动点P(x，y)满足?x＋2?＋y－?x－2?＋y＝2，则动点P的轨迹是( ) A．椭圆 C．双曲线的左支 22222 2 2 2 x2 B．双曲线 D．双曲线的右支 解析：?x＋2?＋y－?x－2?＋y＝2表示动点P(x，y)到两定点F1(－2,0)，F2(2,0)的距离之差等于2，由双曲线的定义，知动点P的轨迹是双曲线的右支． 答案：D - 1 - 4．已知方程－＝1表示双曲线，则k的取值范围是( ) 1＋k1－kA．(－1,1) C．[0，＋∞) B．(0，＋∞) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞) x2y2 解析：∵方程－＝1表示双曲线，∴(1＋k)(1－k)>0， 1＋k1－k∴(k＋1)(k－1)<0，∴－1 5．双曲线方程为x－2y＝1，则它的右焦点坐标为( ) A.?C.? 2 2 x2y2 ?2? ，0? ?2??6? ，0? ?2? x2y2 B.? ?5? ，0? ?2? D．(3，0) 1362 解析：双曲线的标准方程为－＝1，∴焦点在x轴上，且c＝1＋＝.∵c>0，∴c＝，11222 2∴右焦点的坐标为? 答案：C 6．已知双曲线－＝1，F1，F2是其左、右焦点，点P在双曲线右支上．若∠F1PF2＝60°， 49则△F1PF2的面积是__________． 解析：设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2(r1>r2)，在△ F1PF2中，由余弦定理，得|F1F2|＝r1＋r2－12 2r1r2cos 60°＝(r1－r2)＋r1r2，而r1－r2＝4，|F1F2|＝213，∴r1r2＝36，∴S△F1PF2＝r1r2sin 213 60°＝×36×＝93. 22 答案：93 2 2 2 ?6? ，0?. ?2? x2y2 y2x2 7．设m是常数，若点F(0,5)是双曲线－＝1的一个焦点，则m＝________. m9 解析：由已知条件有5＝m＋9，所以m＝16. 答案：16 8．若双曲线kx－2ky＝1的一个焦点是(－4,0)，则k＝________. 113 解析：据已知得k>0，于是＋＝16.解得k＝. k2k323 答案： 32 2 22 - 1 - 9．当0°≤α≤180°时，方程xcos α＋ysin α＝1表示的曲线怎样变化？ 解析：(1)当α＝0°时，方程化为x＝1，它表示两条平行直线x＝±1. (2)当0°<α<90°时，方程化为 ＋＝1. 11cos αsin α2 22 x2y2 ①当0°<α<45°时，0< 11 <，它表示焦点在y轴上的椭圆； cos αsin α2 2 ②当α＝45°时，它表示圆x＋y＝2； 11 ③当45°<α<90°时，>>0，它表示焦点在x轴上的椭圆． cos αsin α(3)当α＝90°时，方程化为y＝1，它表示两条平行直线y＝±1. (4)当90°<α<180°时，方程化为 －＝1，它表示焦点在y轴上的双曲线． 11sin α－cos α2 y2x2 (5)当α＝180°时，方程化为x＝－1，它不表示任何曲线． 10．求满足下列条件的双曲线的标准方程： (1)一个焦点是(0，－6)，经过点A(－5,6)； (2)与双曲线－＝1有相同焦点，且过点(32，2)． 164 解析：(1)由已知，得c＝6，且焦点在y轴上，则另一焦点为(0,6)． 由双曲线的定义，得2a＝|?－5－0?＋?6＋6?－?－5－0?＋?6－6?|＝8， ∴a＝4，∴b＝c－a＝20. ∴所求双曲线的标准方程为 －＝1. 1620 2 2 2 2 2 2 2 2 x2y2 y2x2 x2y2 (2)解法一 由条件可知焦点在x轴上，设双曲线方程为2－2＝1(a>0，b>0)，则 aba＋b＝16＋4＝20?? ?1842－2＝1??ab2 2 ??a＝12 ，解得?2 ?b＝8? 2 ，∴所求双曲线的标准方程为－＝1. 128 x2y2 y2184 解法二 设所求双曲线方程为－＝1(－4<λ<16)，则－＝1，解 16－λ4＋λ16－λ4＋λ得λ＝4或λ＝－14(舍去)． ∴所求双曲线的标准方程为 x2 x2 12 －＝1. 8 [B组 能力提升] y2 1．已知F1、F2为双曲线C：x－y＝1的左、右焦点，点P在C上，∠F1PF2＝60°，则 - 1 - 22 |PF1|·|PF2|＝( ) A．2 C．6 解析：设|PF1|＝m，|PF2|＝n， 由双曲线的定义得|m－n|＝2，① 在△F1PF2中，由余弦定理得m＋n－mn＝8，② 联立①，②解得mn＝4， 即|PF1|·|PF2|＝4，故选B. 答案：B 2 2 B．4 D．8 x2y2222 2．过双曲线2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点F引圆x＋y＝a的切线，切点为T，延长FTab交双曲线右支于点P，若M为线段FP的中点，O为坐标原点，则|MO|－|MT|与b－a的大小关系是( ) A．|MO|－|MT|>b－a C．|MO|－|MT| B．|MO|－|MT|＝b－a D．不能确定 解析：不妨设点P在第一象限，设F1是双曲线的右焦点，连接PF1，∵M，O分别为FP， FF1的中点， 122∴|MO|＝|PF1|，由双曲线的定义得|PF|－|PF1|＝2a，|FT|＝|OF|－|OT|＝b， 21 ∴|MO|－|MT|＝|PF1|－|MF|＋|FT| 21 ＝(|PF1|－|PF|)＋|FT|＝b－a. 2答案：B 3．在平面直角坐标系xOy中，已知双曲线－＝1上一点M的横坐标为3，则点M到此 412双曲线的右焦点的距离为________． 解析：由题易知，双曲线的右焦点为(4,0)，点M的坐标为(3，15)或(3，－15)，则点M到此双曲线的右焦点的距离为4. 答案：4 x2y2 x2y2 4．已知F1，F2分别为双曲线2－2＝1(a>0，b>0且a≠b)的左、右焦点，P为双曲线右支 ab上异于顶点的任意一点，O为坐标原点．给出下面四个命题： ①△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝a上； ②△PF1F2的内切圆的圆心必在直线x＝b上； ③△PF1F2的内切圆的圆心必在直线OP上； - 1 - ④△PF1F2的内切圆必经过点(a,0)． 其中真命题的序号是__________． 解析：设△PF1F2的内切圆分别与PF1，PF2切于点A，B，与F1F2切于点M，则|PA|＝|PB|，|F1A|＝|F1M|，|F2B|＝|F2M|.又点P在双曲线的右支上，所以|PF1|－|PF2|＝2a， 故|F1M|－|F2M|＝2a，而|F1M|＋|F2M|＝2c，设点M的坐标为(x,0)，则由|F1M|－|F2M|＝2a，可得(x＋c)－(c－x)＝2a，解得x＝a，显然内切圆的圆心与点M的连线垂直于x轴，故①④是真命题． 答案：①④ 5．设双曲线与椭圆＋＝1有相同的焦点，且与椭圆相交，一个交点A的纵坐标为4， 2736求此双曲线的标准方程． x2y2 y2x22 解析：解法一 设双曲线的标准方程为2－2＝1(a>0，b>0)，由题意知c＝36－27＝9， ab224?±15???2－＝1， b2c＝3.又点A的纵坐标为4，则横坐标为±15，于是有?a??a2＋b2＝9， 解得 ??a＝4， ?2 ?b＝5.? 2 所以双曲线的标准方程为－＝1. 45 解法二 将点A的纵坐标代入椭圆方程得A(±15，4)，又椭圆的两焦点分别为F1(0,3)， y2x2 F2(0，－3)．所以2a＝ | ?±15－0?＋?4＋3?－ ?±15－0?＋?4－3?|＝4， 所以a＝2，b＝c－a＝9－4＝5， 所以双曲线的标准方程为－＝1. 45 →→→→ 6．如图△ABC中，BC＝23，AB·AC＝4，AC·CB＝2，双曲线D以B、C为焦点且过A点． 2 2 2 2 2 2 2 y2x2 (1)建立适当的坐标系，求双曲线D的方程； (2)设过点E(1,0)的直线l分别与双曲线D的左、右支交于F，G两点，直线l的斜率为 k，求k的取值范围． 解析：(1)以BC的中点为原点，BC所在直线为x轴，建立坐标系． - 1 -
高中数学第二章圆锥曲线与方程3双曲线3.1双曲线及其标准方程课时跟踪训练北师大版选修1
