第三讲：图形的平移与旋转
【知识精讲】
知识点1 平移、旋转和轴对称的区别和联系
（1）区别。
①三者概念的区别：在平面内，将一个图形沿某个方向移动一定的距离，这样的图形运动称为平移；在平面内，将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转；在平面内，将一个图形沿着某条直线折叠。如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形成轴对称。
②三者运动方式不同：平移是将图形沿某个方向移动一定的距离。旋转是将一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度；轴对称是将图形沿着某一条直线折叠。
③对应线段、对应角之间的关系不同：平移变换前后图形的对应线段平行（或共线）且相等；对应点所连的线段平行且相等；对应角的两边分别平行且对应角的方向一致。轴对称的对应线段或延长线相交，交点在对称轴上：对应点的连线被对称轴垂直平分。旋转变换前后图形的任意一对对应点与旋转中心的距离相等、与旋转中心的连线所成的角是旋转角。
④三者作图所需的条件不同：平移要有平移的方向和平移的距离，旋转要有旋转中心、旋转方向和旋转角：轴对称要有对称轴。
（2）联系。
①它们都在平面内进行图形变换
②它们都只改变图形的位置不改变图形的形状和大小，因此变换前后的两个图形全等。 ③都要借助尺规作图及全等三角形的知识作图。
知识点2 组合图案的形成
（1）确定图案中的“基本图案”。
（2）发现该图案各组成部分之间的内在联系。
（3）探索该图案的形成过程：运用平移、旋转、轴对称分析各个组成部分如何通过“基本图案”演变成“形”的。
要用运动的观点、整体的思想分析“组合图案”的形成过程。
运动的观点就是要求我们不能静止地挖掘“基本图案”与“组合图案”的内在联系，头脑中应想象、再现图案形成的过程，做到心中有数，特别是有的图案含有不同的“基本图案”其形成的方式也多种多样，可以通过平移、旋转、轴对称变换中的一种或两种变换方式来实现，也可以通过同一种变换方式的重复使用来实现。
整体的思想包括整体的构思和“基本图案”的组合。
知识点3 利用平移、旋转和轴对称的知识解决几何问题
在几何题或代数几何综合题的解证过程中，经常会使用几何变换的观点来解决问题。从图形的特点出发，利用几何变换，可将图形的全部或一部分移动到一个新的位置，构成一个新的关系，从而使问题获得解决。这种几何变换不改变被移动部分图形的形状和大小，而只是它的位置发生了变化，这种移动有利于找出图形之间的关系，从而使解题更为简捷。 移动图形一般有三种方法： （1）平移法。
（2）旋转法：利用旋转变换。
（3）对称：可利用中心对称和轴对称。
知识点4 欣赏现实生活中的一些精美图案
通过欣赏现实生活中的一些精美图案，引起学生的兴趣。 通过分析它们的形成过程，为今后进行图案设计提供素材。
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知识点5 图案设计的步骤
1、整体构思
（1）图案的设计要突出“主题”，即设计图案的意图，要求简捷、自然、别致，具有一定的意义，例如，奥运会徽是由五个两两相联的圆环组成的，分别代表世界上五大洲的人民热爱体育运动，携手共创美好的未来。
（2）确定整幅图案的形状（如圆形或正方形）和“基本图案”（不宜太复杂）。
（3）构思图案的形成过程：首先构思该图案由哪几部分构成。再构思如何运用平移、旋转、轴对称等方法实现由“基本图案”到各部分图案的组合，并作出草图。 2、具体作图 根据草图，运用尺规作图的方法准确地作出图案。有条件的同学可用几何画板画出满意的图案。
【典型例题】
例1. 如图所示，A、B两村之间有一条河，河宽为a，现要在河上修一座垂直于河岸的桥，要使AB两村路程最近，请确定修桥的地点。
分析：假设桥为MN，从A→B要走的路程为AMNB，要使路程最近，只需AM＋NB最小即可。
例2. 在△ABC的边BC上，取两点D、E，使BD＝CE，观察AB＋AC与AD＋AE的大小关系。
分析：四条线段AB、AC、AD、AE比较分散，可利用平移的方法将它们集中到一起，即可求出大小关系。
证明：将△AEC沿EB的方向平移到△FBD位置 ∴FB＝AE，FD＝AC 设FD与AB的交点为O
在△AOD中，AO＋OD＞AD 在△FOB中，FO＋OB＞FB
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?AB?FD??AO?OB???FO?OD?
??AO?OD???FO?OB??AD?FB ?AB?AC?AD?AE
例3. 已知：AB＝CD＝1，AB与CD交于O点，∠DOB＝60°，比较AC＋BD与1的大小。
分析：利用平移将AC与BD集中，再利用三角形三边关系进行比较大小。 解：AC?BD?1
证明：过C作CE∥AB，过B作BE∥AC，连结DE ∴四边形ABEC为平行四边形 ∴AC＝BE，AB＝CE
∵∠DOB＝60°，AB∥CE ∴∠DCE＝60° ∵AB＝CD＝1 ∴CE＝CD＝1
∴△DCE为等边三角形 ∴DE＝1
在△DEB中，DB＋BE＞DE 即DB＋AC＞1
例4. 已知：如图，E是正方形ABCD的边BC上一点，AF平分∠EAD交CD于点F，说明AE＝BE＋DF的理由。
分析：由于要证的3条线段AB、BE、DF分散在两个三角形中，可利用旋转变换，将其放到一个三角形中。
解：把△ADF绕点A顺时针旋转90°，则点D转到了点B的位置，点F转到了点F'的位置，根据旋转的性质得：
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∠3＝∠1，F'B＝FD，∠AF'B＝∠AFD ∵ABCD为正方形 ∴∠D＝∠ABF'＝90°
∴F'、B、E、C在一条直线上 又∵∠1＋∠2＋∠EAB＝90° ∴∠3＋∠2＋∠EAB＝90° ∴∠F'AE＋∠2＝90° 又∵∠AFD＋∠1＝90° ∴∠AF'B＋∠1＝90° ∵∠1＝∠2
∴∠F'AE＝∠AF'B
∴AE＝F'E＝F'B＋BE＝FD＋BE
例5. 如图，P是正方形ABCD内一点，将△ABP绕点B顺时针旋转90°，使AB与CB重合，BP到达BP'处，AP到达CP'处，若AP的延长线正好经过P'，求∠APB的度数。
分析：此题运用旋转将△ABP绕点B顺时针旋转90°，根据旋转性质求出∠BP'C的度数即可。
而∠BP'C又是∠BP'P与∠CP'P之和，可各个击破，从而得解。 解：由旋转的性质及特征可知： ∠PBP'＝90°，AP⊥P'C，BP＝BP' ∴在△BPP'中，∠BP'P?∠BPP'? 又∵AP的延长线正好经过P'点 ∴∠AP'C＝90°
∴∠BP'C＝∠AP'C＋∠BP'P＝135° 从而可得∠APB＝135°
例6. 已知：如图，E、F、G分别是正方形ABCD中BC、AB、CD上的点，且AE⊥FG。 求证：AE＝FG
1?180??90???45? 2 4
分析：AE、FG所在位置不易证明相等，可将其一改变位置，如可用平移、旋转将其位置改变后再进行证明。
证明：延长AB至F'使BF'＝BE，连结CF' ∵正方形ABCD
∴AB＝CB，∠ABC＝90° 又∵∠CBF'＝90°，BE＝BF'
∴△ABE绕点B顺时针旋转90°可得△CBF' ∴AE＝CF'，AE⊥CF' ∵FG⊥AE ∴FG∥CF'
又∵正方形ABCD，AB∥CD ∴四边形GFF'C为平行四边形 ∴CF'＝FG ∴AE＝FG
例7. 如图，P是正方形ABCD中AC上一点，PE⊥AD于E，PF⊥CD于F。 求证：（1）OE⊥OF （2）OE＝OF
分析：充分利用正方形的中心对称性及旋转变换。 证明：∵正方形ABCD
∴∠ADC＝90°，∠DAC＝45° ∵DE⊥AD，∴∠PED＝90° ∵PF⊥CD，∴∠PFD＝90° ∴四边形EPFD为矩形 ∴PE＝DF
又∵∠PED＝90°，∠DAC＝45°
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（word完整版）八年级数学学案-图形平移与旋转知识点考点，推荐文档
