??J(x)?取P?I?x2?f(x)??3???x1?x2??0则Q(x)??2??1?3x14-9设非线性方程：?Q(x)?JT(x)?J(x)V(x)?f(x)f(x)???x20?1?0，（）?2??1?3x12x??，有V(x)??。?1?3x2x?2V(x)?3x13x?1?2x2x?2V(x)?2x1x解：（1）采用克拉索夫斯基法，依题意有：试用克拉索夫斯基法确定系统原点的稳定性。（2）李雅普诺夫方法：选取Lyapunov函数为V(x)??T??f(x)?0??2T?3x?x?1?0?3x12??0?????21?1????3x1?01?3x12????21?3x?2?1?2??3x2?022??2a(1?x2)x2?01??1??31?3x13x2?3x2(?x13?x2)1??1???2x1x2?2x2(?x1?a(1?x2)2x2)4-12试用变量梯度法构造下列系统的李雅普诺夫函数?1?x2x?1?3x12?? ，根据希尔维斯特判据，有：2??2??x13?x2x?x2?2??x?x2???3?x2?(?x13?x2)2???x1?x2?3x12?1?3x12?12?0，Q(x)的符号无法判断。2V(x)是负定的。x??，有V(x)??。即系统在原点处大范围渐近稳定。3432x1?x2?0，则42V(x)是负定的。x??，有V(x)??。即系统在原点处大范围渐近稳定。解：依题意有：??计算得到V(x)为：计算V(x)的导数为：解：假设V(x)的梯度为：5-1已知系统状态方程为：V(x)?x1(x2?0)选择参数，试选a11?a22?1,a12?a21?0，于是得：?012?(x12?x2)2试设计一状态反馈阵使闭环系统极点配置为-1，-2，-3。x1dx1?x2(x1?x1)?1?-x1?2x12x2?x??2?-x2x??0?ax?ax???V??V??111122???1??a21x1?a22x2???V2?2V(x)??(1?2x1x2)x12?x2?11如果1?2x1x2?0或x1x2?，则V(x)是负定的，因此，x1x2?是x1和x2的约束条件。2211?2xx?0即xx?V(x)是正定的，因此在范围内，xe?0是渐进稳定的。121222???x?2xT11x2???a11x1?a12x2a21x1?a22x2??V(x)?(?V)x??x?2?22??a11x12??a12?a21?x1x2?a22x2?2a12x12x2?2a11x13x2?x???V1??V2?x?x?,即1?2?0，表明上述选择的参数是允许的。则有：?V??1?，显然满足旋度方程?x2?x1?x2?x1?x2?现代控制理论第五章习题答案x2dx2?1?11??0????011?x??0?ux???????101???1???1?11??0??,b??0?A??011???????101???1???011M???bAbA2b??????012? rankM?3，系统能控。???112??系统?0?(A,b,C)的特征多项式为：?I?A?(??1)3?(??1)?1??3?3?2?2??1?010??0?则将系统写成能控标准I型，则有x????001?x??0?u。???????1?23???1??引入状态反馈后，系统的状态方程为：x??(A?bK)x?bu，其中K为1?3矩阵，设K??k0k1?K?(A,bK,C)的特征多项式为：f(?)?det[?I?(A?bK)]??3?(?3?k2)?2?(2?k1)??(1?k0)根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：f*(?)?(??1)(??2)(??3)??3?6?2?11??6比较f(?)与f*(?)各对应项系数，可解得：k0??5k1??9k2??9，则有：K??-5-9-9?。5-3有系统：x?????21??0?0?1??x????1??uy??10?x（1）画出模拟结构图。（2）若动态性能不满足要求，可否任意配置极点？（3）若指定极点为-3，-3，求状态反馈阵。解（1）系统模拟结构图如下：u+-?x2+x1y-?12题5-3 系统模拟结构图（2）系统采用状态反馈任意配置极点的充要条件是系统?0?(A,b,C)完全能控。 对于系统?0?(A,b,C)有：k2?，则系统项式为： M??b5-4设系统传递函数为?I?A?(??2)(??1)??2?3??2f*(?)?(??3)2??2?6??9试问能否利用状态反馈将传递函数变成 （3）系统?0?(A,b,C)的特征多项式为：根据给定的极点值，得到期望特征多项式为：f(?)?det[?I?(A?bK)]??2?(3?k1)??(2?k0)(s?1)(s?2)s2?s?2解：W(s)? ?(s?1)(s?2)(s?3)s3?2s2?5s?6若有可能，试求出状态反馈K，并画出系统结构图。?01??0??则将系统写成能控标准I型，则有x???x??1?u。?2?3??????(A?bK)x?bu，设K??k0引入状态反馈后，系统的状态方程为：x比较f(?)与f*(?)各对应项系数，可解得：k0??7k1??3，K???7?3?。令K??k0能控标准I型为由于传递函数无零极点对消，因此系统为能控且能观。?01???00x???65y???21(s?1)(s?2)(s?1)(s?2)(s?3)s?1(s?2)(s?3)0??0??0?u1?x??????2???1??1?xk1k2? 为状态反馈阵，则闭环系统的特征多项式为f(?)?det[?I?(A?bK]? ?3?(2-k2)?2?(?5-k1)??(?6?k0 ) 由于状态反馈不改变系统的零点，根据题意，配置极点应为-2，-2，-3，得期望特征多项式为?01?Ab???? rankM?2，系统能控，故若系统动态性能不满足要求，可任意配置极点。1?1??f*(?)?(??2)(??3)(??2)? ?3?7?2?16??12 k1?，则系统?K?(A,bK,C)的特征多v+M???b-uAb闭环系统镇定。+---解：系统的能控阵为：系统结构图如下：控。又由于rankM?3，系统?0?(A,b,C)能控，可以采用状态反馈将系统的极点配置在根平面的左侧，使解：W(s)?W0(s)Wd(s) 即K???18?21?5?-5?2??1?2?2??2??,b??0?（1） A??0?11???????10?1???1??x35-7设计一个前馈补偿器，使系统-21-5解耦，且解耦后的极点为?1,?1,?2,?2。?1-18-6?2?40??010? rankM?3，系统能控。A2b???????11?5??k0??18 k1??21 k2??5 由定理5.2.1可知，采用状态反馈对系统?0?(A,b,C)任意配置极点的充要条件是?0?(A,b,C)完全能?1?s?1W(s)???1??s(s?1)5-5使判断下列系统通过状态反馈能否镇定。比较f(?) 与f*(?) 的对应项系数，可得x2题5-4 系统模拟结构图?x11-21?s?2??1?s??+++y
VIP专享《现代控制理论》第3版（刘豹 - 唐万生）课后习题答案
