2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破
专题25直线与圆的方程
考点命题分析
直线与圆的方程是解析几何的基础知识，它不仅涉及几何知识，也涉及广泛的代数知识，综合性较强、能力要求较高.
纵观近几年高考，我们发现直线与圆的方程这部分内容在全国卷中的考查有以下几个特点:一是每年必考，但未必在全国卷I、全国卷Ⅱ、全国卷Ⅲ中都考.如2017年全国卷I、卷Ⅱ的文科、理科都未涉及“直线与圆的方程”的内容，但全国卷Ⅲ考查了这部分内容，而且是解答题，属于压轴题之一，足见它的分量.二是在每一份试卷中至多有一道有关直线与圆的方程的题目(2016年全国卷理科是个例外，有一小一大两道题).三是选择题、填空题和解答题三种题型都有可能出现，客观题突出了“小而巧”的特点，主要考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离、弦长等问题；主观题考查较为全面，除考查直线与圆的位置关系、点到直线的距离、弦长等问题外，还考查运算求解、等价转化、数形结合、分类讨论等重要的思想方法.四是就文科、理科而言，直线与圆的方程这节内容在文科试卷中出现的频率大于理科，但难度略小于理科.综合以上分析，我们在复习备考中要给予高度重视.
高考题大多是比较经典的，因此，在复习备考过程中，它无疑是我们选题的一个风向标，认真研究高考题、品味高考题，可以让我们窥视其中的一些奥妙，使我们的复习备考更具针对性和有效性.
1方程问题
求直线方程与圆的方程是解析几何中的基础知识与基本技能.求直线的方程，一般采用待定系数法，将直线方程设成点斜式或斜截式.而求圆的方程，一般来说有两种方法: (1)几何法.通过研究圆的几何性质求出圆的基本量:圆心坐标和半径. (2)代数法.先设出圆的方程，然后用待定系数法求解.
例1已知抛物线C:y2=2x，过点(2，0)的直线l交C于A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆. (I)证明:坐标原点O在圆M上；
(Ⅱ)设圆M过点P(4，－2)，求直线l与圆M的方程. 2弦长问题
但凡涉及直线与圆的位置关系时，都会遇到弦长问题，但高考中单纯的以求弦长为目标的问题较少.小题中
1
大多是已知弦长求参数的值(范围)这一类的逆向思维问题，大题中往往是将弦长作为条件的综合问题，因此，弦长问题举足轻重.
解决直线被圆截得的弦长问题的核心:在由弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径所构成的直角三角形中运用勾股定理进行计算. 例2已知直线l:mx+y+3m－D两点，若3最值与范围问题
最值问题是范围问题的特例，因此，研究的方法、手段基本相同.在处理直线与圆的方程的最值与范围问题时，主要有以下两种途径:一是利用圆的几何性质直接判断，如过圆内一个定点的弦长的最值与范围问题，就可以结合图形利用弦长与弦心距之间的关系进行判断；二是构建目标函数的解析式，然后利用函数或基本不等式研究最值与范围.另外，在特定的情境中，利用“三角形两边之差小于第三边”来研究最值与范围问题可以取到意想不到的效果.
例3已知圆M:(x+1)2+y2=1，圆N:(x－1)2+y2=9，动圆P与圆M外切并且与圆N内切，圆心P的轨迹为曲线C.
(I)求C的方程；
(Ⅱ)l是与圆P，圆M都相切的一条直线，与曲线C交于A，B两点，当圆P的半径最长时，求|AB|. 例4设圆x2+y2+2x－15=0的圆心为A，直线l过点B(1，0)且与x轴不重合，交圆A于C，D两点，过B作AC的平行线交AD于点E.
(I)证明|EA|+|EB|为定值，并写出点E的轨迹方程；
(Ⅱ)设点E的轨迹为曲线C1，直线l交C1于M，N两点，过B且与l垂直的直线与圆A交于P，Q两点，求四边形MPNQ面积的取值范围. 4定值与定点问题
直线与圆的定值与定点问题虽不是高考的热点，但一旦出现则必然是试卷的压轴题，如2017年高考数学全国卷Ⅲ文科第20题，就考查了直线与圆的定值问题，试题综合性较强，难度较大
例5在直角坐标系xOy中，曲线y=x2+mx－2与x轴交于A，B两点，点C的坐标为(0，1).当m变化时，解答下列问题:
(I)能否出现AC⊥BC的情况?说明理由；
(Ⅱ)证明过A，B，C三点的圆在y轴上截得的弦长为定值.
例6在平面直角坐标系xOy中，设二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)的图像与两个坐标轴有三个交点，经过这三
2
=0与圆
.
交于A，B两点，过A，B分别作l的垂线与x轴交于C，
，则|CD|= 点的圆记为C.问圆C是否经过定点(其坐标与b无关)?请证明你的结论. 5复习建议
本章的复习首先要注重基础，对基础知识、基本题型要掌握好.求直线的方程基本用待定系数法，复习时应注意直线的方程各种形式的适用条件；研究两条直线的位置关系，应特别注意直线斜率的存在与不存在两种情况；圆的方程、直线与圆的位置关系、圆的切线问题、弦长问题都是高考考查的热点，求圆的方程、圆心坐标和圆的半径的常用方法是待定系数法及配方法，要熟练掌握，还应特别注意充分运用直线与圆的几何性质以简化运算.
特别需要指出的是，绝大多数和直线与圆的方程有关的高考题，都会涉及弦长问题，因此，在高考复习备考中，强化弦长问题的训练显得尤为重要.
最新模拟题强化
1．圆x2?y2?4x?6y?9?0的圆心到直线ax?y?1?0的距离为2，则a?（ ） A．?4 3B．?3 4C．2
D．2
2．已知直线l1:mx?(m?3)y?1?0，直线l2:(m?1)x?my?1?0，若l1?l2则mA．m?0或m?1 C．m??B．m?1 D．m?0或m???（ ）
3 23 23．圆x2?y2?2x?4y?0与直线2tx?y?2?2t?0?t?R?的位置关系为( ) A．相离 C．相交
B．相切
D．以上都有可能
4．已知圆x2?y2?4x?a?0截直线x?3y?0所得弦的长度为23,则实数a的值为( ) A．?2
B．0
C．2
D．6
5．过点P(3,4)作圆x2?y2?4的两条切线，切点分别为A，B，则A．5?3
B．5?2
C．
AB?（ ）
421 5221 5D．
6．已知圆O与直线l相切与点A，点P,Q同时从点A出发，P沿直线l匀速向右、Q沿圆周按逆时针方向以相同的速率运动，当点Q运动到如图所示的位置时，点P也停止运动，连接OQ,OP，则阴影部分的
3
面积S1,S2的大小关系是（ ）
A．S1?S2 C．S1?S2
B．S1?S2
D．先S1?S2，再S1?S2，最后S1?S2
227．若圆C:x?y?4上恰有3个点到直线l:x?y?b?0(b?0)的距离为1，l1:x?y?42?0,则l与
l1间的距离为（ ）
A．1
B．2
C．2
D．3
8．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回到
22军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为x?y?1，若将军从点A(2,0)处出发，河岸线所在直线方程为x?y?3，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ） A．10?1
B．22?1
C．22 D．10
9．与直线x?y?4?0和圆x2?y2?2x?2y?0都相切的半径最小的圆的方程是 A．?x?1???y?1??2 C．?x?1???y?1??2
2222B．?x?1???y?1??4 D．?x?1???y?1??4
222210．若直线y=x+b与曲线y?3?4x?x2有公共点，则b的取值范围是（ ） A．[1?2,1?2] B．[1?2,3]
C．[1?22,3]
D．[?1,1?2]
211．设x1、x2是关于x的方程x2?mx?m2?m?0的两个不相等的实数根，那么过两点A(x1,x1)、
2B(x2,x2)的直线与圆?x?1???y?1??1的位置关系是（ ）
22A．相离
B．相切 C．相交
D．随m的变化而变化
4
12．圆x2?y2?2x?4y?3?0上到直线l:x?y?1?0之距离为A．1
B．2
C．3
的点有（ ）个 D．4
22?B(5,7)，13．已知点A(?2,0)，圆C:x?y?4x?m?0，若在圆C上存在唯一的点Q使得?AQB?90，
则m?（ ）
B．?68
C．2或?68
D．?2或?68
A．2 14．已知点A?1,1?,B?5,5?，直线l1:x?0和l2:3x?2y?2?0，若点P1、P2分别是l1、l2上与A、B两
uuuur点距离的平方和最小的点，则PP12等于（ ）
A．1
B．2
C．10
D．
173 515．若对圆(x?1)2?(y?1)2?1上任意一点P(x,y)，3x?4y?a则实数a的取值范围是( ) A．a?4
B．?4?a?6
C．a?4或a?6
?3x?4y?9的取值与x，y无关，
D．a?6
16．直线l:y?kx?1与圆O:x2?y2?1相交于A,B两点,当?AOB的面积达到最大时,k?________. 17．已知坐标原点为O，过点PM，则
?2,6?作直线2mx??4m?n?y?2n?0(m,n不同时为零)的垂线，垂足为
OM的取值范围是______．
18．在平面直角坐标系xOy中，以C?1,1?为圆心的圆与x轴和y轴分别相切于A，B两点，点M，N分别在线段OA，OB上，若MN与圆C相切，则
MN的最小值为______.
19．在平面直角坐标系xOy中，已知圆M:x2?y2?4x?8y?12?0，圆N与圆M外切于点且过点?0,?2?，则圆N的标准方程为_________.
?0,m?，
20．已知抛物线C：y2?4mx(m?0)与直线x-y-m=0交于A、B两点（A、B两点分别在x轴的上、下方），且弦长
AB?8，则过A，B两点、圆心在第一象限且与直线x?y?5?43?0相切的圆的方程
为____________．
21．若C为半圆直径AB延长线上的一点，且AB?BC?2，过动点P作半圆的切线，切点为Q，若
PC?3PQ，则?PAC面积的最大值为____．
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2020年高考数学二轮复习专项微专题核心考点突破：专题25直线与圆的方程（原卷版）
