三角恒等变换专题复习（一）
2012-8-7
一、基本内容串讲
1． 两角和与差的正弦、余弦和正切公式如下：
sin(???)?sin?cos??cos?sin?; cos(???)?cos?cos??sin?sin?;
tan(???)?tan??tan?1?tan?tan?
对其变形：tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)，有时应用该公式比较方便。 2． 二倍角的正弦、余弦、正切公式如下：
sin2??sin?cos?tan2??2tan?1?tan?2. cos2??cos2??sin2??2cos2??1?1?2sin2?. .
要熟悉余弦“倍角”与“二次”的关系（升角—降次，降角—升次）．特别注意公式的三角表达形式，且要善于变形， cos2??3.辅助角公式：
4.简单的三角恒等变换
（1）变换对象：角、名称和形式，三角变换只变其形，不变其质。
（2）变换目标：利用公式简化三角函数式，达到化简、计算或证明的目的。
（3）变换依据：两角和与差的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式。 （4）变换思路：明确变换目标，选择变换公式，设计变换途径。 5.常见题目类型及解题技巧（最后师生共同总结） 二、考点阐述
考点1两角和与差的正弦、余弦、正切公式。 1、sin20?cos40??cos20?sin40?的值等于（ ） 2、若tan??3，tan??431?cos2?2,sin2??1?cos2?2 这两个形式常用。
，则tan(???)等于（ ）
考点2二倍角的正弦、余弦、正切公式 3、cos
?5cos
2?5的值等于（ ）
?24、 已知0?A?
，且cosA?35，那么sin2A等于（ ）
1
考点3运用相关公式进行简单的三角恒等变换 5、已知tan(???)?252211596、已知sin??sin??,cos??cos??,则cos(???)值等于（ ?2372,tan(???4)?14,则tan(???4)的值等于（
3 ） ）
7、函数f(x)?cos2(x??12)?sin(x?2?12)?1是（ C ）
（A）周期为2?的奇函数 （B）周期为2?的偶函数 （C）周期为?的奇函数 （D）周期为?的偶函数 三、解题方法分析
1．熟悉三角函数公式，从公式的内在联系上寻找切入点
【方法点拨】三角函数中出现的公式较多，要从角名称、结构上弄清它们之间的内在联系，做到真正的理解、记熟、用活。解决问题时究竟使用哪个公式，要抓住问题的实质，善于联想，灵活运用。
例1设a?
12cos6??32sin6,b??2tan132??1?tan13,c?sin50??2cos25,则有（ a?c?b ）
【点评】：本题属于“理解”层次，要能善于正用、逆用、变用公式。例如： sin?cos?=sin2?，cos?=
21sin2?2sin?，cos2??sin2??cos2?，
2tan?1-tan?2?tan2?，，
1?2sin?cos??(sin??cos?)cos??22，1?cos2??2cos2?1?cos2?2，1?cos2??2sin2?1?cos2?2,sin2??，tanα＋tanβ=tan(α+β)(1- tanαtanβ)
等。另外，三角函数式asinx+bcosx是基本三角函数式之一，引进辅助角，将它化为
a2?b2sin(x??)即asinx+bcosx=
a2?b2sin(x??)（其中tan??3ba）是常用转化手段。
特别是与特殊角有关的sin±cosx，±sinx±
cosx，要熟练掌握其变形结论。
2．明确三角恒等变换的目的，从数学思想方法上寻找突破口 （1）运用转化与化归思想，实现三角恒等变换`
【方法点拨】教材中两角和与差的正、余弦公式以及二倍角公式的推导都体现了转化与化归的思想，应用该思想能有效解决三角函数式化简、求值、证明中角、名称、形式的变换问题。
例2． 已知值．（－
5665π2＜β＜α＜
3π4，cos（α－β）=
1213，sin（α+β）=－，求sin2α的
53
（本题属于“理解”层次，解答的关键在于分析角的特点， 2α=（α－β）+（α+β））
2
例2解答：
例3．化简：［2sin50°+sin10°（1+
【解析】：原式= =3．
【点评】：本题属于“理解”层次, 解题的关键在于灵活运用“化切为弦”的方法，再利用两角和与差的三角函数关系式整理化简．化简时要求使三角函数式成为最简：项数尽量少，名称尽量少，次数尽量底，分母尽量不含三角函数，根号内尽量不含三角函数，能求值的尽量求出值来。
3tan10°）］2sin280?．
（2）运用函数方程思想，实现三角恒等变换
【方法点拨】三角函数也是函数中的一种，其变换的实质仍是函数的变换。因此，有时在三角恒等变
换中，可以把某个三角函数式看作未知数，利用条件或公式列出关于未知数的方程求解。
例4：已知sin（α+β）=【解析】
23，sin（α－β）=
34，求
tan(???)?tan??tan?tan??tan(???)2的值．。
`
tan(???)?tan??tan?tan??tan(???)2=
tan(???)?tan(???)(1?tan??tan?)tan??tan(???)2=
tan?tan?=－17
【点评】：本题属于“理解”层次，考查学生对所学过的内容能进行理性分析，善于利用题中的条件 运用方程思想达到求值的目的。
3
（3）运用换元思想，实现三角恒等变换
【方法点拨】换元的目的就是为了化繁为简，促使未知向已知转化，可以利用特定的关系，把某个 式子用新元表示，实行变量替换，从而顺利求解，解题时要特别注意新元的范围。
例5：若sin??sin??22,求cos??cos?的取值范围。
12,
【解析】：令cos??cos??t，则(sin??sin?)2?(cos??cos?)2?t2?即2?2cos(???)?t2?∴ ?2?t2?
32?2,??12?2cos(???)?t?232
14212?t?272,??142?t?，即?142?cos??cos??142
【点评】：本题属于“理解”层次，解题的关键是将要求的式子cos??cos?看作一个整体，通过 代数、三角变换等手段求出取值范围。
3．关注三角函数在学科内的综合，从知识联系上寻找结合点
【方法点拨】三角函数在学科内的联系比较广泛，主要体现在与函数、平面向量、解析几何等知识的 联系与综合，特别是与平面向量的综合，要适当注意知识间的联系与整合。
?6：已知：向量a?(3,?1)??? ，b?(sin2x,cos2x)，函数f(x)?a?b例
（1）若f(x)?0且0?x??，求x的值； x??12或
7?12
??（2）求函数f(x)取得最大值时，向量a与b的夹角．
【解析】：∵
??f(x)?a?b＝3sin2x?cos2x
（2）?2sin(2x??6)
??????f(x)?2时，由a?b?|a|?|b|cos?a,b??2
∴f(x)max?2，当
????????a?b得cos?a,b?????1，?0??a,b??? ∴?a,b??0
|a|?|b|【点评】：本题属于“理解”中综合应用层次，主要考查应用平面向量、三角函数知识
的分析和计算能力.
4
四、课堂练习
1．sin165o= （ ） A．
12 B．
32 C．
3276?412 D．
326?42
2．sin14ocos16o+sin76ocos74o的值是（ ） A．3．已知x?(??,0)，cosx?4 B． C．2 D．?1224
at，则n2x?（ ） A． B．?7 C． D．?2425242474．化简2sin（π4－x）2sin（π4+x），其结果是（ ）
Ａ．sin2x Ｂ．cos2x Ｃ．－cos2x Ｄ．－sin2x 5．sin
?12—3cos
?12的值是 （ ）
A．0 B． —2 C． 2 D． 2 sin5?12
6．
1?tan275?tan75?的值为 ()
A． 23 B． 233 C． ?23 D． ?233
7．若cos??35?42，sin?2?5，则角?的终边一定落在直线（ ）上。
A．7x?24y?0 B．7x?24y?0 C．24x?7y?0 D．24x?7y?0 8． cos?????cos??sin?????sin??_________. ?9．
1?tan151?tan15?＝
10．tan20??tan40??3tan20?tan40?的值是 . 11．求证：
cos2??1的值．
cot?4sin2?． 12．已知tan2??13，求tan?2?tan?2
13．已知0?x??4,sin(?4?x)?513,求
cos2x的值。
cos(?4?x)
75
14．若A??0,??,且sinA?cosA?7A?4cosA13, 求
5sin15sinA?7cosA的值。
15．在△ABC中，若sinAsinB=cos
2
C2，则△ABC是（ ）
A．等边三角形 B．等腰三角形
C．不等边三角形 D．直角三角形
16．化简1?sin2??cos2?1?sin2??cos2?．
17.求证：1?2sin??cos?1?tan?cos2??sin2a?1?tan?．
18． 已知sinα=
1213，sin（α+β）=4，α与β均为锐角，求cos
?．5?
五.总结：
常见题型及解题技巧（手记）
六、今日作业，详见学案（手记）：
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三角恒等变换专题
