5、
d[xJ1(ax)??. dx6、证明y?Jn(ax)为方程
x2y''?xy'?(a2x2?n2)y?0
的解. 7、证明
J3(x)?22?x?1???????cosx??sinx?; ?????x?2?x?????J5(x)?2?2??3?31?sin(x??)?cos(x??)??. 2??x?xx????8、试证y?xJ3(x)是方程
212x2y''?(x2?2)y?0.
的一个解.
9、试证y?xJn(x)是方程
x2y''?xy'?(1?x2?n2)y?0
的一个解.
10、设?i(i?1,2,3,)是方程J1(x)?0的正根，将函数
f(x)?0展开成贝塞尔函数J1?(?1(x)的级数. 11、设ai(i?1,2,3,函数J0(aix)的级数. 12、设ai(i?1,2,3,(0?x?1)
)是J0(x)?0的正根，将函数f(x)?x2(0?x?1)展开成贝塞尔
)是方程J0(2x)?0的正根，将函数
?1,0?x?1,?1?f(x)??,x?12???0,1?x?2展开成贝塞尔函数J0(aix)的级数.
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13、把定义在[0,a]上的函数展开成贝塞尔函数J0?14、若?1(i?1,2,3,?ai?x?的级数，其中ai是J0(x)正零点. a??)是J1(x)正零点，证明
R?00,i?j,????i???? xJ0?x?J0?ix?dx??R22RR?????J0(?i),i?j.?2[提示：可仿照8.4中推导贝塞尔函数模值的方法来证明.] 15、利用递推公式证明
（1）J2(x)?J0(x)?''1'J0(x); x''''（2）J3(x)?3J0(x)?4J0(x)?0.
16、试证
?xJno(x)dx?xnJ1(x)?(n?1)xn?1Jo(x)?(n?1)2?xn?2Jo(x)dx.
17、试解下列圆柱区域的边值问题：在圆柱内?u?0,在圆柱侧面u??a?0，在下底
uz?0?0，在上底uz?h?A.
18、解下列定解问题：
2??2u1?u?2??u?2?a?2??;?t??????????2?u??0;. ?ut?0?1?2,R?tt?0??u??,u??R?0.???0??若上述方程换成非齐次的，即
?2u1?u1?2u????B （B为常数）， ??2???a2?t2而所有定解条件均为零，试求其解.
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数学物理方程学习指导书第8章贝塞尔函数讲解
