第8章 贝塞尔函数
本章我们来讨论贝塞尔方程的解法以及解的性质. 下面将要看到，在一般的情况下，贝塞尔方程的解不能用初等函数表出，从而就导入了一类特殊函数，称之为贝塞尔函数，贝塞尔函数具有一系列性质，在求解数学物理问题时主要是引用正交性，这个正交性恰好是前面所述的施特姆-刘维尔理论的一个特例.
8．1 贝塞尔方程的求解
在7.1中，我们从解决圆盘的瞬时温度分布问题引出了贝塞尔方程，以x表示自变量，y表示未知函数，则n阶贝塞尔方程为
d2ydy22x?x?(x?n)y?0, (8.1) 2dxdx2其中n为任意实数或复数. 由于方程的系数中出现n的项，所以在讨论时，不妨暂先假定
2n?0．
设方程(8.1)有一个级数解，其形式为
y?xc(a0?a1x?a2x2???akxk?)
??akxc?k， a0?0, (8.2)
k?0其中常数c和ak(k?1,2,3)可以通过把y和它的导数y?,y??代入(8.1)来确定.
将(8.2)及其导数代入(8.1)后得
????(c?k)(c?k?1)?(c?k)?(xk?0?2c?k?n2)?axk???0.
化简后写成
(c?n)a0x???c?1??n?a1x??22c22c?122c?k????0, ?(c?k)?n??ak?ak?2?xk?2??要使上式成为恒等式，必须各个x幂的系数全为零，从而得下列各式：
1a0(c2?n2)?0;2a1[(c?1)2?n2]?0;3[(c?k)2?n2]ak?ak?2?0(k?2,3,).
???由1得c??n，代入2得a1?0.现暂取c?n，代入3得
4ak??ak?2.
k(2n?k)- 11 -
因为a1?0，由4?知a1?a3?a5?a7??0,而a2,a4,a6,都可以用a0表示，即
a2??a0,
2(2n?2)a0,
2?4(2n?2)(2n?4)?a0,
2?4?6(2n?2)(2n?4)(2n?6)a4?a6?………………………………………………
a2m?(?1)m2?4?6a02m(2n?2)(2n?4).
(2n?2m)
(?1)ma0?2m2m!(n?1)(n?2)由此知(8.2)的一般项为
(n?m)a0xn?2m(?1)2m2m!(n?1)(n?2)m(n?m),
a0是一个任意常数，取定后就得(8.1)式的一个特解.我们把a0取作
a0?1，
2n?(n?1)这样选取a0可使一般项系数中2的次数与x的次数相同，并可以运用下列恒等式
(n?m)(n?m?1)(n?1)(n?1)?(n?1)??(n?m?1)
使分母简化，这样选a0后，一般项的系数就整齐了
a2m?(?1)m1. (8.3) n?2m2m!?(n?m?1)以(8.3)代入(8.2)得到(8.1)的一个特解
xn?2my1??(?1)n?2m2m!?(n?m?1)m?0?m(n?0).
用级数的比值判别法（或称达朗倍尔判别法）可以判定这个级数在整个数轴上收敛. 这个无
穷级数所确定的函数，称为n阶第一类贝塞尔函数，记作
xn?2mJn(x)??(?1)n?2m2m!?(n?m?1)m?0?m(n?0). (8.4)
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至此，我们就求出了贝塞尔方程的一个特解Jn(x).
当n为正整数或零时，?(n?m?1)?(n?m)!，故有
xn?2mJn(x)??(?1)n?2m(n?0,1,2,2m!(n?m)!m?0?m). (8.5)
取c??n时，用同样方法可得(8.1)式另一特解
x?n?2mJ?n(x)??(?1)?n?2m(n?1,2,). (8.6)
2m!?(?n?m?1)!m?0?m比较(8.4)式与(8.6)式可见，只要在(8.4)的右端把n换成?n，即可得到(8.6)式，因此不论n是
正数还是负数，总可以用(8.4)式统一地表达第一类贝塞尔函数.
当n不为整数时，这两个特解Jn(x)与J?n(x)是线性无关的，由齐次线性微分主程的通解的结构定理知道，(8.1)的通解为
y?AJn(x)?BJ?n(x) (8.7)
其中A,B为两个任意常数.
当然，在n不为整数的情况，方程(8.1)的通解除了可以写成(8.7)式以外还可写成其他的形式，只要能够找到该方程另一个与Jn(x)线性无关的特解，它与Jn(x)就可构成(8.1)的通解，这样的特解是容易找到的. 例如，在(8.7)中取A?ctgn?,B??cscn?,则得到(8.1)的一个特解
Yn(x)?ctgn?Jn(x)?cscn?J?n(x)
?Jn(x)cosn??J?n(x)(n? 整数） (8.8)
sinn?显然，Yn(x)与Jn(x)是线性无关的，因此，(8.1)的通解可写成
y?AJn(x)?BYn(x). (8.7)’
由(8.8)式所确定的函数Yn(x)称为第二类贝塞尔函数，或称牛曼函数.
8．2 当n为整数时贝塞尔方程的通解
上一节说明，当n不为整数时，贝塞尔方程(8.1)的通解由(8.7)或(8.7)’式确定，当n为整数时，(8.1)的通解应该是什么样子呢？
首先，我们证明当n为整数时，Jn(x)与J?n(x)是线性相关的，事实上，我们不妨设
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数学物理方程学习指导书第8章贝塞尔函数讲解
