专题3 二次方程根的分布（教师版）
前言：
当一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?有实数根时，两个根x1、x2满足特定的条件，从方程对应的函数图像上可以通过系数满足相应的条件反映出来，或者是通过根与系数的关系，加以等价转化。
2一、专题知识
1. 基本知识
一元二次方程ax?bx?c?0?a?0?对应的函数为f?x??ax?bx?c?a?0?
22???0?b??0。 （1）两根都小于0，需满足条件：???2a??a?f?0??0
???0?b??0。 （2）两根都大于0，需满足条件：??2a???a?f?0??0（3）一根为正，另一根为负，需满足条件：a?f?0??0。
???0?b??k。 （4）两根都小于k，需满足条件：???2a??a?f?k??0???0?b??k。 （5）两根都大于k，需满足条件：??2a???a?f?k??0（6）一根大于k,一根小于k，需满足条件：a?f?k??0。
2. 基本结论
???0?a?f?m??0??（1）两根满足m?x1?x2?n，需满足条件?a?f?n??0。
??m??b?n?2a?（2）两根有且仅有一根满足m?x1(x2)?n，需满足的条件：f?m??f?n??0。
1
（3）一根满足m?x1?n，另一根满足p?x1?q，其中m?n?p?q，需满足的条件：
?f?m??f?n??0? ?f?p??f?q??0
（4）两根x1?m,x2?n，其中m?n需满足的条件：
?f?m??0 ? 当a?0时，?
??fn?0??f?m??0 ? 当a?0时，?
?f?n??0
二、例题分析
例题1 已知二次方程?2m?1?x?2mx??m?1??0有一正根和一负根，求实数m的取值范围。
2【解】 由二次方程?2m?1?x?2mx??m?1??0有一正根和一负根，只需?2m?1??f?0??0即
2?2m?1??m?1??0，解得-1?m?1，所以实数m的取值范围是-1?m?1。
22
例题2 已知方程2x??m?1?x?m?0有两个不等正实根，求实数m的取值范围。 【解】 由
2???0??m?1?2?8m?0?m?1?m?3?22??或m?3?22?0?m?3?22或m?3?22即为?0?m??1?????m?0?4?m?0???f?0??0所求的范围。
例题3 已知二次函数y??m?2?x??2m?4?x??3m?3?与x轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，求实数m的取值范围。
2【解】 由?m?2??f?1?,即?m?2???2m?1??0??2?m??
21即为所求的范围。 2例题4 已知二次方程mx??2m?3?x?4?0只有一个正根且这个根小于1，求实数m的取值范围。 【解】 二次方程mx??2m?3?x?4?0在区间?0,1?上只有一个正根，则
2 f?0??f?1??0?4?3m?1??0?m?? 所以实数m的取值范围是m??。
1313三、专题训练
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专题练习
1、设关于x的方程ax??a?2?x?9a?0有两个不相等的实数根x1、x2，且x1?1?x2，求实数a的取值范围。
22、设关于x的方程7x??R?13?x?R?R?2?0有两个不相等的实数根?、?，且0???1,1???2，
22求实数R的取值范围。
3、设关于x的方程1?mx?2mx?1?0的所有根都是比1小的正实数，求实数m的取值范围。
4、求函数y?x?2006x?2008的图像与x轴交点的横坐标之和。
5、m,n?Z,方程2x?2mx?n?0的两根x1、x2满足1?x1?2,2???3，求m、n的值。
6、若关于x的二次方程x?2kx?2k?1?0至少有一个负根，求k的取值范围。
7、是否存在这样的实数k，使得二次方程x??2k?1?x??3k?2??0有两个实数根，且两根都在
2?2?22222 2与4之间？如果有，试确定k的取值范围；如果没有，试说明理由。
3
8、关于x的方程x??2t?1?x?1?2t?0有一根满足?1?x1?0，另一根0?x2?21，求实数t的 2 取值范围。
9、关于x的方程x?2mx?2?m?0有一根小于1，一根大于1，求实数m的取值范围。
10、方程x?(2m-1)x?(m?6)?0有一根不大于－1，另一根不小于1. （1）求m的取值范围； （2）求方程两根平方和的最大值与最小值。
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专题作业
1、证明：关于x的方程?x?a??x?a?b??1的两根中，一个小于a，另一个大于a。
4
2、已知关于x的方程x?11x?30?t?0的两个根均大于5，求实数t的取值范围。
3、已知方程x?4mx?2m?6?0有且只有一个根在区间?-3，0?内，求实数m的取值范围。
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参考答案
专题练习
1、解：由于a?0，所以方程ax?(a?2)x?9a?0变形为x?(1?)x?9?0. 设函数f(x)?x?(1?)x?9,由于x1?1?x只需f(1)?0 即1?(1?)?9?0.解得?实数a的取值范围是?2222a2a2a2?a?0. 112?a?0. 11
222、解：方程7x?(R?13)x?R?R?2?0有两个不相等的实数根?,?，且0???1,1???2, 设函数f(x)?7x?(R?13)x?R?R?2,则：
22?f(0)?0??f(1)?0??2?R??1或3?R?4. ?f(2)?0?故实数R的取值范围是－2?R??1或3?R?4.
23、解：①1?m?0时，m??1,
1
，符合题意； 2
12当m??1m?2，方程(1?m)x?2mx?1?o的根为x?，不符合题意；
2
当m?1，方程(1?m)x?2mx?1?o的根为x?
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初三自主招生精品班讲义之专题3 二次根式的分布（教师版）
