16、（2009年宜宾）如图，菱形ABCD的对角线长分别为a、b，以菱形ABCD各边的中点为顶点作矩形A1B1C1D1，然后再以矩形A1B1C1D1的中点为顶点作菱形A2B2C2D2，??，如此下去，得到四边形A2009B2009C2009D2009的面积用含 a、b的代数式表示为 ．【答案】
12010（）ab． 2DD1D3A2AA3A1B2B第20题图3B3B1D2C3C2CC1
17、（2009 黑龙江大兴安岭）如图，边长为1的菱形ABCD中，?DAB?60?．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACC1D1，使 ?D1AC?60?；连结AC1，再以AC1为边作第三个菱形AC1C2D2，使 ?D2AC1?60?；??，按此规律所作的第n个菱形的边长为 ．【答案】
C2?3?n?1
D2D1DABC1C
18．（2011山东日照，16，4分）正方形ABCD的边长为4，M、N分别是BC、CD上的两个动点，且始终保持AM⊥MN．当BM= 时，四边形ABCN的面积最大． 【答案】2;
19、（2011四川宜宾）如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD交于点O，E、F在AC上，G、H在BD上，AF=CE，BH=DG． 求证：GF∥HE．
A
E G F B
C
O H
D
【答案】证明：∵平行四边形ABCD中，OA=OC，
由已知：AF=CE AF－OA=CE－OC ∴OF=OE 同理得：OG=OH ∴四边形EGFH是平行四边形 ∴GF∥HE 20、（2011四川成都10分） 如图，已知线段AB∥CD，AD与BC相交于点K，E是线段AD上一动点. (1)若BK=
5CDKC，求的值； 2AB1AD时，猜想线段AB、BC、CD三者之间有怎样21的等量关系?请写出你的结论并予以证明．再探究：当AE=AD (n?2)，而其余条件不变
n (2)连接BE，若BE平分∠ABC，则当AE=
时，线段AB、BC、CD三者之间又有怎样的等量关系?请直接写出你的结论，不必证明．
CKDEAB
CKEDABFG
【答案】解：（1）∵AB∥CD，BK=
5CDCK2KC，∴==. 2ABBK5
（2）如图所示，分别过C、D作BE∥CF∥DG分别交于AB的延长线于F、G三点，
∵BE∥DG，点E是AD的点，∴AB=BG；∵CD∥FG，CD∥AG，∴四边形CDGF是平行四边形，∴CD=FG；
∵∠ABE=∠EBC ，BE∥CF，∴∠EBC=∠BCF，∠ABE=∠BFC，∴BC=BF， ∴AB-CD=BG-FG=BF=BC，∴AB=BC+CD. 当AE=
1AD (n?2)时，（n?1）AB=BC+CD. n21、（2011贵州安顺10分）如图，在△ABC中，∠ACB=90°，BC的垂直平分线DE交BC于D，交AB于E，F在DE上，且AF=CE=AE． ⑴说明四边形ACEF是平行四边形；
⑵当∠B满足什么条件时，四边形ACEF是菱形，并说明理由．
【答案】（1）证明：由题意知∠FDC =∠DCA = 90°．∴EF∥CA ∴∠AEF =∠EAC ∵AF = CE = AE ∴∠F =∠AEF =∠EAC =∠ECA 又∵AE = EA ∴△AEC≌△EAF，∴EF = CA，∴四边形ACEF是平行四边形 ． （2）当∠B=30°时，四边形ACEF是菱形 ． 理由是：∵∠B=30°，∠ACB=90°，∴AC=又∵AE=CE，∴CE=
第25题图
1AB，∵DE垂直平分BC，∴ BE=CE 21AB，∴AC=CE，∴四边形ACEF是菱形． 222、（2011山东滨州10分）如图，在△ABC中，点O是AC边上（端点除外）的一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠BCA的平分线于点E,交∠BCA的外角平分线于点F，连接AE、AF。那么当点O运动到何下时，四边形AECF是矩形？并证明你的结论。
AMBEOFNC（第24题图）
【答案】当点O运动到AC的中点（或OA=OC）时， 四边形AECF是矩形??????2分
证明：∵CE平分∠BCA,∴∠1=∠2，??????3分 又∵MN∥BC, ∴∠1=∠3，
∴∠3=∠2，∴EO=CO. ??????5分 同理，FO=CO??????6分 ∴EO=FO
又OA=OC, ∴四边形AECF是平行四边形??????7分
又∵∠1=∠2，∠4=∠5，∴∠1+∠5=∠2+∠4. ??????8分 又∵∠1+∠5+∠2+∠4=180°∴∠2+∠4=90°??????9分 ∴四边形AECF是矩形??????10分 23、（2011湖北襄阳10分)如图9，点P是正方形ABCD边AB上一点（不与点A，B重合），连接PD并将线段PD绕点P顺时针方向旋转90°得到线段PE，PE交边BC于点F，连接BE，DF.
（1）求证：∠ADP＝∠EPB； （2）求∠CBE的度数； （3）当
AP的值等于多少时，△PFD∽△BFP？并说明理由. AB
DCFAPBE
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是正方形
∴∠A＝∠PBC＝90°，AB＝AD，∴∠ADP＋∠APD＝90° ···················· 1分 ∵∠DPE＝90° ∴∠APD＋∠EPB＝90° ∴∠ADP＝∠EPB. ···················································································· 2分 （2）过点E作EG⊥AB交AB的延长线于点G，则∠EGP＝∠A＝90° ········· 3分
图9
DCFAPBEG
又∵∠ADP＝∠EPB，PD＝PE，∴△PAD≌△EGP ∴EG＝AP，AD＝AB＝PG，∴AP＝EG＝BG ············································· 4分 ∴∠CBE＝∠EBG＝45°. ········································································· 5分 （3）方法一：
当
AP1································································ 6分 ?时，△PFE∽△BFP. ·
AB21AP1···················· 8分 a，∴BF＝BP·?a ·
2AD4∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF ································ 7分 设AD＝AB＝a，则AP＝PB＝∴PD?AD2?AP2?∴
55a，PF?PB2?BF2?a 24PBBF5?? ···················································································· 9分 PDPF5又∵∠DPF＝∠PBF＝90°，∴△ADP∽△BFP ········································ 10分 方法二：
假设△ADP∽△BFP，则
PBBF. ······················································· 6分 ?PDPF∵∠ADP＝∠FPB，∠A＝∠PBF，∴△ADP∽△BPF ······························ 7分 ∴∴
PDAP， ······················································································· 8分 ?PFBFPBAP， ······················································································· 9分 ?BFBFAP1?时，△PFE∽△BFP. 10分 AB2∴PB＝AP， ∴当
24. （2011湖南永州10分）探究问题： ⑴方法感悟：如图①，在正方形ABCD中，点E，F分别为DC，BC边上的点，且满足∠EAF=45°，连接EF，求证DE+BF=EF．
感悟解题方法，并完成下列填空：
将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABG，此时AB与AD重合，由旋转可得： AB=AD,BG=DE, ∠1=∠2，∠ABG=∠D=90°, ∴∠ABG+∠ABF=90°+90°=180°，
因此，点G，B，F在同一条直线上．
∵∠EAF=45° ∴∠2+∠3=∠BAD-∠EAF=90°-45°=45°． ∵∠1=∠2， ∴∠1+∠3=45°． 即∠GAF=∠_________． 又AG=AE，AF=AF
平行四边形经典练习题（3套）附带详细解答过程
