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解：选项A中被积函数在[0，5]上连续，选项B、C、D中被积函数均不能保证在闭区间上连续 41、
??2??2|sinx|dx?（ A ）
A、0 B、242、使积分
??20|sinx|dx C、2??(?sinx)dx D、2?2sinxdx
?200??20kx(1?x2)?2dx?32的常数k=（ C ）
A、40 B、-40 C、80 D、-80 解：原式=
22k2k12?22(1?x)d(1?x)?(?)?k?32 2?00221?x5?2x?1,?1?x?043、设f(x)??，则
1?x,0?x?1?A、解
?1?1f(x)dx?（ B ）
11151115? B、? C、? D、? 2ln232ln232ln232ln23：
0131021x151?xdx?(2?x)?(1?x)2??
?1302ln23ln2?1?1f(x)dx??(2?1)dx???1x2044、y??x0(t?1)2(t?2)dt，则
dydx?（ B ）
x?0A、-2 B、2 C、-1 D、1 解：dy/dx=(x+1)2(x+2)
45、下列广义积分收敛的是（ B ） A、
1dx1dx1dxdx B、 C、 D、?0xx?0x?0x?0x3
1解：四个选项均属于二、填空题 1、e?10dx，该广义积分当p<1时收敛，大于等于1时发散 px?x?exdx?（ ）
解：原式=e?edx?ede?e+C 2、已知一函数的导数为f(x)??xex?exxex11?x2，且当x=1时，函数值为?，
32则此函数F(x)=( arcsinx?? )
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?F?(x)?f(x)?F(x)?解：
?11?x2dx?arcsinx?C
F(1)?arcsin1?C?32?,?C??3、曲线y?e?x2的上凸区间是（ （?22,22） ） 解：y???2xe?x2,y???2(2x2?1)e?x2,?x??22 ?4、
?2(x2?sin2x)cos3xdx????（ 8 ） 2??x3cos2为奇函数，??232??xcosxdx?0解：
2???
?212121?cos??sin2xcos2xdx?224sin2xdx?4x?2?02dx?2?085、若f(x)的一个原函数是sinx，则
?f??(x)dx?（ -sinx+C ）
解：?f(x)?(sinx)??cosx,f?(x)??sinx,f??(x)??cosx 6、设f(x)?xln(x?x2?a2)?x2?a2，其中a?0，则f??(0)?（
1a f?(x)?ln(x?x2?a2)?xx?x2?a2(1?12?2x12xx2?a2)?2?x2?a2?ln(x?x2?a2)解：f??(x)?11x?x2?a2(1?12?2xx2?a2)?x2?a2f??(0)?1a27、曲线?x?cost?cos2t?y?1?sint上对应于t?4的点外的法线斜率为（ 1?2 8、设y?f(2x2)，而f?(x)?tanx，则dyx???（ 2? ）
8解：
dydx?f?(2x2)?(2x2)??4xtan(2x2) 9、lim12nn??(n2?1?n?2??n?n?（ 12?2)2 ） 77
）
）百度文库
10、设f(x)?lim(n?1)x，则f(x)的间断点为x=（ 0 ）
n??nx2?1xn21x?n?1n?1n??解：x不等于0时，f(x)?lim?1 x X=0时，f(x)=f(0)=0,显然x不等于0时，f(x)=1/x 连续，又limf(x)???f(0)
x?0三、计算题
x2?1?1?x21、求极限lim22 2x?0xsinx参考答案：
x21114?1?[1?x2?x4?o(x4)]x?o(x4)1288?lim?原式=lim2 44x?0x?08xx2、求极限
limx?031?x2?1?x(ex?1) x(3?1)ln(1?x)参考答案：
利用等价无穷小：e?1~x,a?1~xlna,ln(1?x)~x,(1?x)?1~?x 原式=
xx?12??x??2x2x33?1?x?1?x(e?1)1?1?x?1x(e?1)1x?x?lim???lim3?lim???2lim??lim22x?0x?0x?0x?0x2??ln3?x?0x2ln3?3ln3(ln3)?x2xx??????
?x?a(t?sint)d2y3、设?，求 2dxy?a(1?cost)?参考答案：
dyyt?asint?? dxxt?a(1?cost)dy)d2ydx?d?dy??dt???dxdt?dx?dxdx2
cost(1?cost)?sint?sint1cost?1?1????a(1?cost)a(1?cost)3a(1?cost)2(1?cost)2d(88
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d2y4、求由方程y?1?xe所确定隐函数的二阶导数 2dxy参考答案：
把原方程两边对自变量x求导，得
dydy?ey?xey? dxdxdyeyey??解得 dx1?xey2?yd2ydey?()?则2dx2?ydxeydydy?(2?y)?ey(?)2ydxdx?(3?y)?e
(2?y)2(2?y)3
-2
5、近似计算数e的值，使误差不超过10 参考答案：
ex?1?x?121x???xn 2!n!11e?令x=1?e?1?1?????
2!n!(n?1)!要使误差Rn?10?3，只需Rn?经计算，只需取n=5,所以
3?10?2
(n?1)!e?1?1?11????2.5?0.1667?0.0417?0.0083?2.7167?2.72 2!5!36、讨论函数f(x)?x(1?x)的凸性与相应曲线拐点 参考答案：
函数的定义为R
f?(x)?3x2?4x3
f??(x)?6x?12x2?6x(1?2x)
由f??(x)?0可得x=0,1/2 列表如下：
x (-∞，0) - 凹 0 0 拐点 （0，1/2） + 凸 1/2 0 拐点 （1/2，+∞） - 凹 f??(x) f(x) 99
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所以凹区间为(??,0)?(,??) 凸区间为(0,)
121211) 216227、 求函数y?x?的单调区间、极值点
x拐点为（0，0）和(,参考答案：
定义域为(??,0)?(0,??)．
2x3?1由y??2x?2?22，令y??0得驻点x?1，列表给出单调区间及极值点：
xxx (??,0) － (0,1) — １ ０ 极小值3 (1,??) ＋ y? f(x) 所以，函数的单调递减区间为(??,0)，(0,1]，单调递增区间为[1,??)，极小值点为(1,3) 8、 求由y参考答案：
x,yx,x2所围图形的面积
A10(xx)dx21(xxdx)7342 3?1?x29、设f(x)???x?e3x?0，求?f(x?2)dx．
1x?0参考答案：
方法一：先作变量代换
?31f(x?2)dx?1330?1x?2?t?101?1f(t)dt??(1?t)dt??e?tdt
?10021 ?[t?t]?e?t?4?17?e?1??e?1． 33?1?(x?2)2方法二：先给出f(x?2)???(x?2)?ex?2，于是 x?27?1?e 3?31f(x?2)dx??[1?(x?2)]dx??e?(x?2)dx?1222310、求曲线y?(x?1)33?x在A（-1，0），B（2，3），C（3，0）各点处的切线方程 参考答案：
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大一高等数学复习题(含答案)
