圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 第4章 多元函数微积分学
4.1 考点归纳
一、多元函数的概念、极限、连续 1．多元函数的概念
设D是平面上的一个点集，如果对于每个点P(x,y)?D，变量z按照一定的法则总有确定的值和它对应，则称变量z是变量x，y的二元函数，记作z=f(x,y)或z=z(x,y)，D称为该函数的定义域，数集{zz=f(x,y),(x,y)?D}称为该函数的值域．二元函数的图形通常是空间中的曲面．类似地，可以定义三元函数u=f(x,y,z)．
2．二元函数的极限
设函数z=f(x,y)的定义域为D，P0(x0,y0)是D的聚点，如果对于任意给定的正数
?，总存在正数?，使得对于适合不等式0?PP0=(x?x0)+(y?y0)??的一切点
22P(x,y)?D，都有f(x,y)?A??成立，则称A为函数z=f(x,y)当x→x0,y→y0时
的极限，记作
x→x0y→y0limf(x,y)=A或f(x,y)→A(?→0)，这里?=PP0
3．二元函数的连续性 （1）定义
如果limf(x,y)=f(x0,y0)，则称函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处连续．
x→x0y→y0如果函数z=f(x,y)在区域D上每一点处都连续，则称函数在区域D上连续． 注：二元连续函数的和、差、积、商（分母不为零）仍为连续函数；二元连续函数的复
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圣才电子书 www.100xuexi.com合函数仍为连续函数．
（2）介值定理
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 在有界闭区域上连续的二元函数，至少取得它的最大值与最小值各一次，取得介于最大值与最小值之间的任何数值至少一次．
二、多元函数的偏导数及全微分 1．偏导数
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，如果当?x→0时，极限
?x→0limf(x0+?x,y0)?f(x0,y0)存在，则称此极限为z=f(x,y)在点(x0,y0)处对x的偏导
?x数，记作
?z?xx=x0,y=y0?f?xx=x0y=y0,z'xx=x0y=y0或f'x(x0,y0)．
类似地，可定义z=f(x,y)在点(x0,y0)处对y的偏导数，记作
?z?yx=x0,y=y0?f?yx=x0y=y0,z'yx=x0y=y0或f'y(x0,y0)．
如果函数z=f(x,y)在区域D内任一点（x，y）处对x的偏导数都存在，那么这个偏导数就是关于x，y的函数，它称为函数z=f(x,y)对自变量x的偏导数，记作或f'x(x,y)．
同理，可以定义函数z=f(x,y)对自变量y的偏导数，记作
?z?f,,z'x?x?x?z?f,,z'y或f'y(x,y)． ?y?y2．高阶偏导数
如果函数z=f(x,y)的一阶偏导数
?z?z=f'x(x,y),=f'y(x,y)对于x，y的偏导数?x?y仍然存在，则称它们为函数z=f(x,y)的二阶偏导数，记为
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圣才电子书 www.100xuexi.com 十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ???z??2z???z??2z?=?x2=f''xx(x,y)，?y??y?=?y2=f''yy(x,y)
?x??x???????z??2z???z??2z=f''yx(x,y) ==f''xy(x,y)，??=???x??y??y?x?y??x??x?y二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数． 注：当两个混合偏导数都连续时，则它们相等：
?2z?2z= ?x?y?y?x3．全微分 （1）全微分的定义
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全增量?z=f(x+?x,y+?y)?f(x,y)可以表示
?=为?z=A?x+B?y+?(?)，其中A，B不依赖于?x,?y，而仅与x，y有关，
?x2+?y2，
则称函数z=f(x,y)在点(x,y)可微分，A?x+B?y称为函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分，记为dz，即dz=A?x+B?y．
如果函数z=f(x,y)在区域D内各点处都可微，则称函数z=f(x,y)在区域D内可微．
（2）全微分存在的必要条件
如果函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分存在，则偏导数
?z?z,都存在，且函数?x?yz=f(x,y)在点(x,y)的全微分为dz=（3）全微分存在的充分条件
?z?zdx+dy． ?x?y函数z=f(x,y)在点(x,y)的全微分存在的充分条件是，偏导数
?z?z,在点(x,y)处?x?y存在并连续．
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十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 三、多元复合函数的求导法则 1．多元复合函数的求导法则
设函数u=u(x,y),?=?(x,y)在点(x,y)处的偏导数存在，且在对应于(x,y)的点
(u,?)处函数z=f(u,?)可微，则复合函数z=f[u(x,y),?=?(x,y)]对x及y的偏导数均
存在，且
?z?z?u?z???f?u?f??=+=+?x?u?x???x?u?x???x
?z?z?u?z???f?u?f??=+=+?y?u?y???y?u?y???y类似地，可以推广到多个中间变量或多个自变量的情形． 如果z=f(u,?),u=u(x),?=?(x)都可微，则有全导数公式：2．隐函数的求导法则 （1）一个方程的情形
设函数F(x,y)在点P(x,y)的某邻域内具有连续偏导数，且F'y?0，则由方程
dz?zdu?zd?． =+dx?udx??dxF(x,y)=0在点(x,y)的某邻域内可唯一确定一个隐函数y=f(x)，并且
F'dy=?x． dxF'y设F(x,y,z)在点P(x,y,z)的某邻域内具有连续偏导数，且F'z?0，则由方程
F(x,y,z)=0在点(x,y,z)的某邻域内可唯一确定一个隐函数z=f(x,y)，并且
F'F'?z?z=?x,=?y． ?xF'z?yF'z（2）方程组的情形
设F(x,y,u,?),G(x,y,u,?)在点P(x,y,u,?)的某邻域内具有对各个变量的连续偏导
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圣才电子书 www.100xuexi.com数，且
十万种考研考证电子书、题库视频学习平台 ?F?(F,G)?uJ==?(u,?)?G?u?F???0 ?G??则由方程组F(x,y,u,?)=0,G(x,y,u,?)=0在点(x,y,u,?)的某邻域内可唯一确定一组隐函数u=u(x,y),?=?(x,y)，并且
?u1?(F,G)1=?=??xJ?(x,?)J?u1?(F,G)1=?=??yJ?(y,?)J?F?x?G?x?F?y?G?y?F???G???F???G??,??1?(F,G)1=?=??xJ?(u,x)J,??1?(F,G)1=?=??yJ?(u,y)J?F?u?G?u?F?u?G?u?F?x?G?x ?F?y?G?y注：方程组情形时，隐函数求偏导，不必套用公式，可通过复合函数的求导法则计算．
四、多元函数的极值及应用 1．多元函数的极值及其求法 （1）多元函数极值的定义
设函数z=f(x,y)在点(x0,y0)的某一邻域内有定义，对于该邻域内异于点(x0,y0)的点（x，y），如果都满足不等式f(x,y)?f(x0,y0)，则称f(x0,y0)为函数z=f(x,y)的一个极大值，点(x0,y0)为极大值点；如果都满足不等式f(x,y)?f(x0,y0)，则称f(x0,y0)为函数z=f(x,y)的一个极小值，点(x0,y0)为极小值点．
（2）多元函数取得极值的必要条件
若函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处具有偏导数，则函数z=f(x,y)在点(x0,y0)处取得
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全国硕士研究生招生考试农学门类联考数学考点归纳与典型题(含历年真题)详解-多元函数微积分学(圣才出品
