高中自主招生练习卷
数学试卷
考生注意： 1. 本试卷共18题.
2. 试卷满分150分，考试时间100分钟.
3. 答题时，考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答，在草稿纸、本 试卷上答题一律无效.
4. 除第一大题外，其余各题如无特别说明，都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步骤.
一、填空题（41分，第1~5题每题3分，第6~7题每题8分，第8题10分） 1.
y?x?2?x?3的最小值是 .
22.不等式3x?bx?2?0的解是全体实数，则b的取值范围是 .
D 3. 如图，梯形ABCD中，DC∥AB，DC＝3cm，
AB＝6cm，且MN∥PQ∥AB，DM＝MP＝PA， M 则MN＝ cm，PQ＝ cm.
P
A
C N Q B
24．已知关于x 的不等式mx?2mx?1>0的解是一切实数，则m的取值范围为
___________.
x?11m??25.已知关于x的方程x?1x?1x?1有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 .
26. 若多项式3x?17x?b分解因式的结果中有一个因式为x?4，则b的值
为 .
22x?1?y?4的最小值为 . x?y?4x，y7.若为正实数，且，则
8.对任意A中任取两个元素x，y，定义运算x*y＝ax+by+cxy，其中a，b，c是
常数，等式右边的运算是通常的加法和乘法运算．已知1*2＝3，2*3＝4，并且集合A中存在一个非零常数m，使得对任意x，都有x*m＝x，则称m是集合A的“钉子”．集合A＝{x|0≤x≤4}的“钉子”为 ．
二、简答题（共109分）
9.（8分）已知实数a,b满足a2＋b2?1,ab＞0,求a1?b2?b1?a2的值.
10.（8分）已知集合A＝{0，1}，B＝{a2，2a}，其中a∈R，我们把集合{x|x＝x1+x2，x1∈A，x2∈B}，记作A×B，若集合A×B中的最大元素是2a+1，求a的取值范围.
2f(x)?ax?bx，且1?f(?1)?2，2?f(1)?4，求f(?2)的取值11.（8分）设
范围。
12.（10分）若不等式ax2+5x﹣2＞0的解集是（1）求不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集． （2）已知二次不等式ax2+bx+c＜0的解集为等式cx2﹣bx+a＞0的解集．
，求关于x的不
13.（10分）已知函数f（x）＝|x+a|+|x﹣2|．
（Ⅰ）当a＝﹣3时，求不等式f（x）≥3的解集；
（Ⅱ）若f（x）≤|x﹣4|的解集包含[1，2]，求a的取值范围．
14.（10分）已知a∈R且a≠1，试比较
2215.（12分）求代数式x?10x?26?x?6x?25的最小值
与1+a的大小．
16.（14分）等腰直角三角形 PQR的斜边QR的长为 2. 正方形 ABCD的边 AB 在QR 上, 边 DC 过点P, 边 DA,CB分别交PQ,PR于点M ,N . 当 AB在QR上水平滑动时, △QAM与△BRN 的周长和是否为定值？说明理由．
17.（14分）初中时，我们已经简单学习了向量。阅读以下材料，回答问题：
向量的坐标表示
在平面直角坐标系中，分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为一组基底。a为平面直角坐标系内的任意向量，以坐标原点O为起点P为终点作向量a。由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数（x,y），使得a=xi+yj，因此把实数对(x,y)叫做向量a的坐标，记作a=(x,y)。这就是向量a的坐标表示。其中(x,y)就是点P的坐标。向量a称为点P的位置向量。
??????????????????设a，b都是非零向量，θ是a与b的夹角则有：① |a||b|cosθ=a·b；②???????????????当a与b同向时a·b=|a||b|当a与b反向时a·b=-|a||b|；③ |a·b|≤|a??????||b|；④a⊥b=a·b=0，适用在平面内的两直线.
（1）已知三点P(1,1),A(2,-4),B(x,-9)在一条直线上，用向量的方法求x的值. （2）等腰直角三角形ABC中，AB=AC=2,则AB·BC= .
?????????aaaaa（3）若向量+3b与7-5b垂直，-4b与7-2b垂直，则非零向量与b的
?????夹角是 .
222x?6xy?5ym18.（15分）如果有理数可以表示成（其中x、y是任意有理数）
的形式，我们就称m为“录取数”。请证明：两个“录取数”a、b（b?0）之商也是“录取数”。
高中自主招生练习卷
数学答案要点
一、填空题（41分，第1~5题每题3分，第6~7题每题8分，第8题10分）
题号 1 答案 5 2 3 4 m>-5 6 7 8 ?-26，26 ?4；5 [0,1) 9-20 5 4 且m≠-2,m≠4 4二、简答题
9. 分类讨论.当a,b均大于0时，原式=1；当a,b均大于0时，原式=-1.
10.【解答】解：由题意可知集合A×B中的元素分别是a2，2a，a2+1，2a+1，
∈2a+1为最大元素 ∈可列不等式2a+1＞a2+1 解不等式得0＜a＜2 故答案为：0＜a＜2．
11. 解：令f(?2)?mf(?1)?nf(1)
则4a?2b?m(a?b)?n(a?b) ?4a?2b?(m?n)a?(m?n)b
??m?n?4 比较系数有?
??m?n?2??m?3????n?1 ?f(?2)?3f(?1)?f(1)
?1?f(?1)?2，2?f(1)?4?5?3f(?1)?f(1)?10即5?f(?2)?10
12.【解答】解（1）因为等式ax2+5x﹣2＞0的解集是{x|
所以和2是一元二次方程ax2+5x﹣2＝0的两根， ∈
＝﹣，解得a＝﹣2，
}，
∈不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0可化为﹣2x2﹣5x+3＞0，即2x2+5x﹣3＜0， ∈（2x﹣1）（x﹣3）＜0，解得﹣3＜x＜， 所以不等式ax2﹣5x+a2﹣1＞0的解集为（﹣3，）；
（2）由（1）知a＝﹣2，∈二次不等式﹣2x2+bx+c＜0的解集为∈和是一元二次方程﹣2x2+bx+c＝0的两根， ∈+＝﹣
，
＝﹣，
，
解得b＝，c＝﹣，
所以不等式cx2﹣bx+a＞0可化为：﹣﹣2．
所以关于x的不等式cx2﹣bx+a＞0的解集为（﹣3，﹣2）．
﹣x﹣2＞0，即x2+5x+6＜0，解得﹣3＜x＜
13.【解答】解：（1）当a＝﹣3时，f（x）≥3 即|x﹣3|+|x﹣2|≥3，
即∈
，或∈
，或∈
；
解∈可得x≤1，解∈可得x∈∈，解∈可得x≥4．
把∈、∈、∈的解集取并集可得不等式的解集为 {x|x≤1或x≥4}．
（2）原命题即f（x）≤|x﹣4|在[1，2]上恒成立，等价于|x+a|+2﹣x≤4﹣x在[1，2]上恒成立，
等价于|x+a|≤2，等价于﹣2≤x+a≤2，﹣2﹣x≤a≤2﹣x在[1，2]上恒成立． 故当 1≤x≤2时，﹣2﹣x的最大值为﹣2﹣1＝﹣3，2﹣x的最小值为0， 故a的取值范围为[﹣3，0]．
14.【解答】解：∈∈当a＝0时，∈当a＞1时，
﹣（1+a）＝
； ，∈
； ．可得
上海中考数学自招试卷及答案要点(word版)
