3.3.1 几何概型
几何概型是高中数学新增加的内容,其特点鲜明,题目类型较为固定.高中数学学习阶段所出现的几何概型问题总结如下.
1.与长度有关的几何概型
例1 有一段长为10米的木棍,现要将其截成两段,要求每一段都不小于3米,则符合要求的截法的概率是多大？
分析：由于要求每一段都不小于3米,也就是说只能在距两端都为3米的中间的4米中截,这是一道非常典型的与长度有关的几何概型问题.
解：记两段木棍都不小于3米为事件A,则P(A)=
10?3?32?.
1052.与面积有关的几何概型
这里有一道十分有趣的题目：
例2 郭靖、潇湘子与金轮法王等武林高手进行一种比赛,比赛规则如下：在很远的地方有一顶帐篷,可以看到里面有一张小方几,要将一枚铜板扔到这张方几上.已知铜板的直径是方几边长的
3,谁能将铜板整个地4落到方几上就可以进行下一轮比赛.郭靖一扔,铜板落到小方几上,且没有掉下,问他能进入下一轮比赛的概率有多大？
分析：这是一道几何概型问题,在几何概型中,样本空间是问题所涉及的整个几何图形,在本题中,样本空间就是小方几的桌面面积.一个事件就是整个几何图形的一部分,这个事件发生的概率就是这部分面积与整个图形的面积比.
解：不妨设小方几的边长为1,铜板落到小方几上,也就是铜板的中心落到方几上,而要求整个铜板落到小方
11×的小正方形内（如上图）,这时铜板中心到方几边443111缘的距离≥铜板边长的.整个方几的面积为1×1=1,而中央小正方形的面积为×=,所以郭靖进入
8441611下一轮比赛的概率为16?.
116几上,也就是要求铜板的中心落到方几中内的一个
例3 甲、乙两人相约在上午9：00至10：00之间在某地见面,可是两人都只能在那里停留5分钟.问两人能够见面的概率有多大？
解：设甲到的时间为（9+x）小时,乙到的时间为（9+y）小时,则0≤x≤1,0≤y≤1.
点（x,y）形成直角坐标系中的一个边长为1的正方形,以（0,0）,（1,0）,（0,1）,（1,1）为顶点（如右图）.由于两人都只能停留5分钟即
11小时,所以在|x-y|≤时,两人才能会面. 1212111是两条平行直线x-y=与y-x=之间的带状区域,正方形在这两个带状区域是两个三角12121211112
形,其面积之和为(1-)×(1-)=().
121212由于|x-y|≤
1
231122323从而带形区域在这个正方形内的面积为1-()=,因此所求的概率为144?.
1441211443.与体积有关的几何概型
例4 在5升水中有一个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？ 分析：病毒在这5升水中的分布可以看作是随机的,取得的1升水可以看作构成事件的区域,5升水可以看作是试验的所有结果构成的区域,因此可能用体积比公式计算其概率. 解：“取出1升水,其中含有病毒”这一事件记作事件A,则P(A)=
取出的水的体积1?=0.2.
所有水的体积5从而所求的概率为0.2.
现在我们将这个问题拓展一下：
例5 在5升水中有两个病毒,现从中随机地取出1升水,含有病毒的概率是多大？
分析：此题目与上一题有一点区别,即现在在5升水中含有两个病毒,我们不妨将这两个病毒分别记作病毒甲和病毒乙.随机地取1升水,由上题我们可知含有病毒甲的概率为
11,含有病毒乙的概率也是,而这两种55情况都包括了“既有病毒甲又有病毒乙”的情况,所以应当将这种情况去掉.
解：记“取1升水,含有病毒甲”为事件A；“取1升水,含有病毒乙”为事件B,则“既含有病毒甲又含有病毒乙”为事件AB.
从而所求的概率为P=P(A)+P(B)-P(AB)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=
11119????=0.36. 5555254.与角度有关的几何概型
例6 在圆心角为90°的扇形中,以圆心为起点作射线OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°的概率. 解：设事件A是“作射线OC,求使得∠AOC和∠BOC都不小于30°”.则μa=90°-30°-30°=30°,而μΩ=90°,由几何概型的计算公式得P（A）=
?A30?1??. ??90?3
注意：在高中数学阶段,我们对于与面积有关的几何概型和与体积有关的几何概型要求重点掌握.这里只是列出了几道与几何概型有关的题目,可以说,在高中数学学习阶段,这四种几何概率模型基本上包括了我们所要学习的几何概型,希望能对大家有一点帮助.
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高中数学几何概型素材高一必修(1)
