第25届北京市高中力学竞赛决赛试题
（北京四中杯）
一、填空题
5m远．已知月球表面的重力加速度1．一跳远运动员在地球表面跳远，起跳时速度为10m/s，能跳出7．是地球表面重力加速度的1／6，如果他在月球表面跳远，起跳速度大小也是10m/s，他跳远的记录将是__________m．
2．一举重运动员能举起100kg的重物，他对一根羽毛能施加1000N的力吗?
答：_________，理由是________________________________________．
3．嫦娥飞船绕月球做匀速圆周运动，测出其周期为T，则飞船距月球表面的距离为h，可否不计地球GMT2?R，其中M是月球的质量，R是月球半径． 引力而近似表述为h?4π23答：__________，理由是________________________________________．
4．据北京晚报2012年3月17日和参考消息3月18日报道，奥地利勇士鲍姆加持纳从2.18万米高空的氦气球吊篮中跃下，下落的最高速度到163m/s．下落约3分43秒，距地面2400m高处打开伞，整个下落到地面的时间持续8分8秒．试根据报纸报道和你的分析，在图l中比较准确地画出奥地利勇士下落到地面过程的v?t图线．
5．下雨天，假设无风，雨滴以速度v1竖直下落，雨滴在空中的分布是均匀的，单位体积的雨量是?．如图2所示，一个人要从A处运动到B处，他没有带伞，A、B的距离为l，人的运动速度为v2．把人简化为长方体模型，头和肩的水平面积为S1，身体前方正面的竖直面积为S2．则人从A到B过程中，打到面积S1上的雨量为__________，打到面积S2上的雨量为__________．
C，6．三个质量均为m的小球A、B、用轻杆连接，如图3所示．A、B与B、C的距离相等，A、B、C与地球中心O在一条直线上．三个小球在高空绕地球做匀速圆周运动，如果轻杆收到扰动而偏离直线
一小角度?，则轻杆与直线的偏角?将__________（增大、减小、不变），理由是______________________________．（本题说明控制卫星天线总指向地球的基本原理）
二、计算题
5m，放在静摩擦因数为??0.5的水平面上．在两个半球7．两个相同的半球，半径都是r，质量为0．上放一个半径为r，质量为m的光滑球，如图4所示．求在平衡状态下两球球心之间的最大距离b．
8．两个质量分别为m1和m2的小球，它们之间的相互作用表现为斥力（斥力大小表达式为km1m2，k是2r常数，r为两球之间距离）．现已知m1以速度v0接近m2，瞄准距离为b，即m2到m1速度方向的垂直距离为b，如图5所示．求m1小球接近m2小球的最近距离d．设m1??m2，小球m2可近似看作静止．
9．如图6所示，质量为m的小球，用不可伸长的线悬于固定点O，线长为l，初始线与铅垂线有一个夹角，初速为0．在小球开始运动后，线碰到铁钉O1．铁钉的方向与小球运动的平面垂直．OO1?h?l，且已知OO1与铅垂线夹角为?，设l与铅垂线夹角为?．假设碰后小球恰能做圆周运动．求线与铁钉碰前瞬时与碰后瞬时张力的变化．
10．如图7所示，理想滑轮（轻质，无摩擦）两端悬挂两个质量均为m的砝码盘．用轻线拴住劲度系数很大的轻弹簧（弹簧劲度系数为k）两端使它压缩的长度为l，将此弹簧竖直放在左侧砝码盘上，弹簧上放一质量为m的砝码．右侧砝码盘上也放置质量为m的砝码，使两盘静止．燃断轻线，轻弹簧达到自由伸展状态即与砝码脱离．求（1）此系统（包括两个盘、两个砝码、弹簧和细绳）中哪些量守恒?（2）使用守恒定律求砝码脱离弹簧后升起的高度．
11．三个质量为m的小球用两根长为l的不可伸长细绳相连．初始时刻，三个小球在一条线上，静止放在光滑水平面上，标号分别为1、2、3，如图8所示．给标号为3的小球以初速度v0，则这三个小球运动起来，求1、2两球相遇时的速度为多大?
第25届北京市高中力学竞赛决赛试题参考答案
（北京四中杯）
一、填空题 1．45
2．不能．一根羽毛不能对运动员施加1000N的力，根据牛顿第三定律，运动员也不能对羽毛施加1000N的力．
3．可以．在地球引力所用下，月球（携带飞船）绕地球做匀速圆周运动，可认为月球 飞船处于失重状态，可只考虑月球对飞船的引力作用． 4．
5．?S1v1l；?S2l v26．减少，B球受地球引力与惯性离心力平衡，A球受引力大于惯性离心力，合力指向地球，C球受引力小于惯性离心力，合力背向地球，A、C球受力的力矩使?角减少．
二、计算题
7．解：设最大距离时摩擦力为fmax，AB球心连线与竖直夹角?．
对A球y方向：2Ncos??mg
N?1对B球y方向：NB?mg?Ncos??0
2mg 2cos?11NB?mg?mg?mg
22对B球x方向：fmax?Nsin??0
1fmax??NB?mg
21mgmg?sin??0 22cos?
tan??1
tan??bmax?b?(2r)2??max??1?2?2
33bmaxbmax22?4r? bmax?8r2 bmax?22r 448．解：m1小球受力始终指向m2小球中心，m1小球在一平面内运动．如图所示．设z轴垂直于此平面且通过m2小球中心，则m1小球所受力对z轴的力矩为零，即对z轴角动量守恒．m1小球以速度v0运动，对z轴角动量是rm1v0sin?，但rsin?=b，故rm1v0sin??bmv0，m1小球最接近m2小球（距离为d）时，即无继续向m2小球运动的速度，又无远离m2小球的速度，此刻的速度v应与m1小球至m2小球的连线垂直，角动量是dm1v．于是
dm1v?bm1v0 （1）
得
v?v0b d12在散射过程中，只有斥力作用，故能量守恒．最初，其能量为m1v0动能，到达离m2小球最近时，其
2总能量为
mm1m1v2?k12， 2d后一项为斥力势能，k为一常数．因此，
mm112 （2） m1v2?k12?m1v02d2有（1）（2）得
?m?md?k22??k22??b2 v0?v0?d只能为正，故式中负号无物理意义，舍去．
2?m?md?k22??k22??b2 v0?v0?29．解：假设碰后小球能作圆周运动，运动到最高点的速度v可由 mv2?mg (l?h)
第25届北京市高中力学竞赛决赛试题
