高考数学
规范解答集训(三) 概率与统计
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1．(2019·成都高新区一诊)当前，以“立德树人”为目标的课程改革正在有序推进．高中联招对初三毕业学生进行体育测试，是激发学生、家长和学校积极开展体育活动，保证学生健康成长的有效措施．成都2019年初中毕业生升学体育考试规定，考生必须参加立定跳远、掷实心球、1分钟跳绳三项测试，三项考试满分50分，其中立定跳远15分，掷实心球15分，1分钟跳绳20分．某学校在初三上学期开始时要掌握全年级学生每分钟跳绳的情况，随机抽取了100名学生进行测试，得到下边频率分布直方图，且规定计分规则如下表：
每分钟 跳绳个数 得分 [155,165) 17 [165,175) 18 [175,185) 19 [185，＋∞) 20
(1)现从样本的100名学生中，任意选取2人，求两人得分之和不大于35分的概率； (2)若该校初三年级所有学生的跳绳个数X服从正态分布N(μ，σ )，用样本数据的平均值和方差估计总体的期望和方差，已知样本方差s≈169(各组数据用中点值代替)．根据往年经验，该校初三年级学生经过一年的训练，正式测试时每人每分钟跳绳个数都有明显进步，假设今年正式测试时每人每分钟跳绳个数比初三上学期开始时个数增加10个，现利用所得正态分布模型：
①预计全年级恰有2 000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数；(结果四舍五入到整数)
②若在全年级所有学生中任意选取3人，记正式测试时每分钟跳195以上的人数为ξ，求随机变量的分布列和期望．
附：若随机变量X服从正态分布N(μ，σ )，则P(μ－σ 高考数学 2 2 2 高考数学 [解](1)设“两人得分之和不大于35分”为事件A，则事件A包括两种情况：①两人得分均为17分；②两人中1人得17分，1人得18分． C6＋C6C1229 由古典概型概率公式可得P(A)＝＝＝， 2 C1001 65029 所以两人得分之和不大于35分的概率为. 1 650(2)由频率分布直方图可得样本数据的平均数为 2 11 X＝160×0.06＋170×0.12＋180×0.34＋190×0.30＋200×0.1＋210×0.08＝ 185(个)， 又由s≈169，得s≈13， 所以正式测试时μ＝195，σ＝13， ∴μ－σ＝182. 1－0.682 7 ①由正态曲线的对称性可得P(ξ>182)＝1－＝0.841 35， 2∴0.841 35×2 000＝1 682.7≈1 683(人)， 所以可预计全年级恰有2 000名学生，正式测试每分钟跳182个以上的人数为1 683人. ②由正态分布模型，全年级所有学生中任取1人，每分钟跳绳个数195以上的概率为0.5， 所以ξ～B(3,0.5)， ∴P(ξ＝0)＝C3·(1－0.5)＝0.125， 2P(ξ＝1)＝C13·0.5·(1－0.5)＝0.375， 2P(ξ＝2)＝C23·0.5·(1－0.5)＝0.375， 3P(ξ＝3)＝C33·0.5＝0.125. 0 3 2 ∴ξ的分布列为 ξ P 0 1 2 3 0.125 0.375 0.375 0.125 ∴E(X)＝3×0.5＝1.5. 2．某种水果按照果径大小可分为四类：标准果、优质果、精品果、礼品果．某采购商从采购的一批水果中随机抽取100个，利用水果的等级分类标准得到的数据如下： 等级 个数 标准果 10 优质果 30 精品果 40 礼品果 20 (1)若将频率为概率，从这100个水果中有放回地随机抽取4个，求恰好有2个水果是礼品果的概率．(结果用分数表示) (2)用样本估计总体，果园老板提出两种购销方案给采购商参考． 高考数学 高考数学 方案1：不分类卖出，单价为20元/kg. 方案2：分类卖出，分类后的水果售价如下： 等级 售价(元/kg) 标准果 16 优质果 18 精品果 22 礼品果 24 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ (3)用分层抽样的方法从这100个水果中抽取10个，再从抽取的10个水果中随机抽取3个，X表示抽取的是精品果的数量，求X的分布列及数学期望E(X)． 201 [解](1)设从100个水果中随机抽取一个，抽到礼品果的事件为A，则P(A)＝＝. 1005 ?1?现有放回地随机抽取4个，设抽到礼品果的个数为X，则 X～B?4，?. ?5? 96?4??1?∴恰好抽到2个礼品果的概率为：P(X＝2)＝C??×??＝. ?5??5?625 24 22 (2)设方案2的单价为ξ，则单价的期望值为： E(ξ)＝16×＋18×＋22×＋24×＝∵E(ξ)＞20， 110310410216＋54＋88＋48 ＝20.6. 1010 从采购商的角度考虑，应该采用第一种方案． (3)用分层抽样的方法从100个水果中抽取10个，则其中精品果4个，非精品果6个， 现从中抽取3个，则精品果的数量X服从超几何分布，所有可能的取值为：0,1,2,3. C61C6C41C6C43C41 则P(X＝0)＝3＝；P(X＝1)＝3＝；P(X＝2)＝3＝；P(X＝3)＝3＝. C106C102C1010C1030∴X的分布列如下： 3 21 12 3 X P 0 1 61 1 22 3 103 1 3011316∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 6210305 3．(2019·北京高考)改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B两种移动支付方式的使用情况，从全校学生中随机抽取了100人，发现样本中A，B两种支付方式都不使用的有5人，样本中仅使用A和仅使用B的学生的支付金额分布情况如下： 支付金额(元) 支付方式 仅使用A (0，1 000] 18人 (1 000，2 000] 9人 大于2 000 3人 高考数学
2020高考理科数学二轮复习规范解答集训3：概率与统计
