章末检测(四) 数系的扩充与复数的引入
(时间:90分钟 满分:100分) 第Ⅰ卷(选择题,共40分)
一、选择题(本大题共10小题,每小题4分,共40分,在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1.复数z=3+i2对应点在复平面( ) A.第一象限内 C.虚轴上
解析:∵z=3-1,故对应点在实轴上. 答案:B
→→→→
2.向量OZ1对应的复数是5-4i,向量OZ2对应的复数是-5+4i,则OZ1+OZ2对应的复数是( ) A.-10+8i C.0
B.10-8i D.10+8i B.实轴上 D.第四象限内
→→
解析:OZ1+OZ2对应的复数是5-4i+(-5+4i)=(5-5)+(-4+4)i=0. 答案:C
5
3.复数=( )
2+i21
A.2-i B.+i
55105
C.10-5i D.-i
33
5?2-i?5?2-i?5
解析:===2-i,故选A.
52+i?2+i??2-i?答案:A
4.已知关于x的方程x2+(m+2i)x+2+2i=0(m∈R)有实根n,且z=m+ni,则复数z等于( ) A.3+i C.-3-i
解析:由题意知n2+(m+2i)n+2+2i=0, 即n2+mn+2+(2n+2)i=0.
?n2+mn+2=0?m=3??
∴?,解得?,∴z=3-i. ??2n+2=0n=-1??
B.3-i D.-3+i
答案:B
5.若复数z满足方程z2+2=0,则z3等于( ) A.±22
B.-22
C.-22i
解析:由z2+2=0,∴z=±2i, ∴z3=±22i. 答案:D
z+26.已知z是纯虚数,是实数,那么z=( )
1-iA.2i C.-i
D.±22i
B.i D.-2i
z+2bi+2?2+bi??1+i?2-b+?2+b?i
解析:设z=bi,其中b≠0,b∈R,则由===是实数,21-i1-i?1+i??1-i?得2+b=0,b=-2,故z=-2i.故选D. 答案:D
11
7.复数+的虚部是( )
-2+i1-2i1A.i 51C.-i
5
1B. 51D.-
5
-2-i1+2i-2-i1+2i-1+i11
解析:∵+=+=+=,
555-2+i1-2i4+11+41
∴其虚部是,故选B.
5答案:B
-z---
8.设z的共轭复数是z,若z+z=4,z·z=8,则等于( )
zA.1 C.±1
--
解析:设z=a+bi,由z+z=4,z·z=8,
??a+bi?+?a-bi?=4,?a=2?a=2,???可得?所以?或?
????a+bi?·?a-bi?=8,b=2b=-2.???
B.-i D.±i
即z=2+2i或z=2-2i.
-
z2-2i1-i?1-i?2
当z=2+2i时,====-i;
z2+2i1+i2-
z2+2i1+i?1+i?2
当z=2-2i时,====i.
z2-2i1-i2答案:D
9.若复数z=cos θ+isin θ且z2+z2=1,则sin2θ=( ) 1A. 23C. 4
解析:z2+z2=(cos θ+isin θ)2+(cos θ-isin θ)2 1
=2cos 2θ=1?cos 2θ=,
21-cos 2θ1
所以sin2θ==. 24答案:B
10.对任意复数z=x+yi(x,y∈R),i为虚数单位,则下列结论正确的是( ) -
A.|z-z|=2y -
C.|z-z|≥2x
B.z2=x2+y2 D.|z|≤|x|+|y| 1B. 41D.-
4
--
解析:对于A:|z-z|=|2yi|=2|y|≠2y;对于B:z2=x2-y2+2xyi≠x2+y2;对于C:|z-z|=2|y|≥2x不一定成立;对于D:|z|=x2+y2≤|x|+|y|成立. 答案:D
第Ⅱ卷(非选择题,共60分)
二、填空题(本大题共4小题,每小题4分,共16分,把答案填在题中横线上) 11.若复数(1+ai)2(i为虚数单位,a∈R)是纯虚数,则复数1+ai 的模是________. 解析:因为(1+ai)2=1-a2+2ai是纯虚数,所以1-a2=0,a2=1,复数1+ai的模为1+a2=2,故填 2. 答案:2
12.复数z=x+1+(y-2)i(x,y∈R),且|z|=3,则点Z(x,y)的轨迹是________.
解析:∵|z|=3,∴?x+1?2+?y-2?2=3,即(x+1)2+(y-2)2=32.故点Z(x,y)的轨迹是以O′(-1,2)为圆心,以3为半径的圆. 答案:以(-1,2)为圆心,3为半径的圆
13.复数z1=3+i,z2=1-i,则(z1-z2)i 的虚部是________. 解析:∵z1-z2=2+2i, ∴(z1-z2)i=-2+2i, ∴(z1-z2)i的虚部是2. 答案:2
14.已知复数z满足|z-i|=1,则|z+2-i|的最小值为________. 解析:设z=x+yi(x,y∈R),由|z-i|=1,
2020-2021学年北师大版数学选修1-2课后巩固提升:第四章 数系的扩充与复数的引入章末优化总结
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