章末检测(四) 数系的扩充与复数的引入
(时间：90分钟 满分：100分) 第Ⅰ卷(选择题，共40分)
一、选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题给出的四个选项中只有一项是符合题目要求的)
1．复数z＝3＋i2对应点在复平面( ) A．第一象限内 C．虚轴上
解析：∵z＝3－1，故对应点在实轴上． 答案：B
→→→→
2．向量OZ1对应的复数是5－4i，向量OZ2对应的复数是－5＋4i，则OZ1＋OZ2对应的复数是( ) A．－10＋8i C．0
B．10－8i D．10＋8i B．实轴上 D．第四象限内
→→
解析：OZ1＋OZ2对应的复数是5－4i＋(－5＋4i)＝(5－5)＋(－4＋4)i＝0. 答案：C
5
3．复数＝( )
2＋i21
A．2－i B.＋i
55105
C．10－5i D.－i
33
5?2－i?5?2－i?5
解析：＝＝＝2－i，故选A.
52＋i?2＋i??2－i?答案：A
4．已知关于x的方程x2＋(m＋2i)x＋2＋2i＝0(m∈R)有实根n，且z＝m＋ni，则复数z等于( ) A．3＋i C．－3－i
解析：由题意知n2＋(m＋2i)n＋2＋2i＝0， 即n2＋mn＋2＋(2n＋2)i＝0.
?n2＋mn＋2＝0?m＝3??
∴?，解得?，∴z＝3－i. ??2n＋2＝0n＝－1??
B．3－i D．－3＋i
答案：B
5．若复数z满足方程z2＋2＝0，则z3等于( ) A．±22
B．－22
C．－22i
解析：由z2＋2＝0，∴z＝±2i， ∴z3＝±22i. 答案：D
z＋26．已知z是纯虚数，是实数，那么z＝( )
1－iA．2i C．－i
D．±22i
B．i D．－2i
z＋2bi＋2?2＋bi??1＋i?2－b＋?2＋b?i
解析：设z＝bi，其中b≠0，b∈R，则由＝＝＝是实数，21－i1－i?1＋i??1－i?得2＋b＝0，b＝－2，故z＝－2i.故选D. 答案：D
11
7．复数＋的虚部是( )
－2＋i1－2i1A.i 51C．－i
5
1B. 51D．－
5
－2－i1＋2i－2－i1＋2i－1＋i11
解析：∵＋＝＋＝＋＝，
555－2＋i1－2i4＋11＋41
∴其虚部是，故选B.
5答案：B
－z－－－
8．设z的共轭复数是z，若z＋z＝4，z·z＝8，则等于( )
zA．1 C．±1
－－
解析：设z＝a＋bi，由z＋z＝4，z·z＝8，
??a＋bi?＋?a－bi?＝4，?a＝2?a＝2，???可得?所以?或?
????a＋bi?·?a－bi?＝8，b＝2b＝－2.???
B．－i D．±i
即z＝2＋2i或z＝2－2i.
－
z2－2i1－i?1－i?2
当z＝2＋2i时，＝＝＝＝－i；
z2＋2i1＋i2－
z2＋2i1＋i?1＋i?2
当z＝2－2i时，＝＝＝＝i.
z2－2i1－i2答案：D
9．若复数z＝cos θ＋isin θ且z2＋z2＝1，则sin2θ＝( ) 1A. 23C. 4
解析：z2＋z2＝(cos θ＋isin θ)2＋(cos θ－isin θ)2 1
＝2cos 2θ＝1?cos 2θ＝，
21－cos 2θ1
所以sin2θ＝＝. 24答案：B
10．对任意复数z＝x＋yi(x，y∈R)，i为虚数单位，则下列结论正确的是( ) －
A．|z－z|＝2y －
C．|z－z|≥2x
B．z2＝x2＋y2 D．|z|≤|x|＋|y| 1B. 41D．－
4
－－
解析：对于A：|z－z|＝|2yi|＝2|y|≠2y；对于B：z2＝x2－y2＋2xyi≠x2＋y2；对于C：|z－z|＝2|y|≥2x不一定成立；对于D：|z|＝x2＋y2≤|x|＋|y|成立． 答案：D
第Ⅱ卷(非选择题，共60分)
二、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分，把答案填在题中横线上) 11．若复数(1＋ai)2(i为虚数单位，a∈R)是纯虚数，则复数1＋ai 的模是________． 解析：因为(1＋ai)2＝1－a2＋2ai是纯虚数，所以1－a2＝0，a2＝1，复数1＋ai的模为1＋a2＝2，故填 2. 答案：2
12．复数z＝x＋1＋(y－2)i(x，y∈R)，且|z|＝3，则点Z(x，y)的轨迹是________．
解析：∵|z|＝3，∴?x＋1?2＋?y－2?2＝3，即(x＋1)2＋(y－2)2＝32.故点Z(x，y)的轨迹是以O′(－1,2)为圆心，以3为半径的圆． 答案：以(－1,2)为圆心，3为半径的圆
13．复数z1＝3＋i，z2＝1－i，则(z1－z2)i 的虚部是________． 解析：∵z1－z2＝2＋2i， ∴(z1－z2)i＝－2＋2i， ∴(z1－z2)i的虚部是2. 答案：2
14．已知复数z满足|z－i|＝1，则|z＋2－i|的最小值为________． 解析：设z＝x＋yi(x，y∈R)，由|z－i|＝1，
2020-2021学年北师大版数学选修1-2课后巩固提升：第四章 数系的扩充与复数的引入章末优化总结
