选填题(七)
一、选择题
1．若复数z＝(x＋x－2)＋(x＋2)i为纯虚数，则实数x＝( ) A．1 C．1或－2 答案 A
?x＋x－2＝0，?
解析 由已知得?
??x＋2≠0，
22
B．－2 D．－1或2
解得x＝1.
2．(2019·广西南宁模拟)已知集合A＝{0,1,2,3,4}，B＝{x|x＝n，n∈A}，则A∩B的真子集个数为( )
A．5 B．6 C．7 D．8 答案 C
解析 B＝{x|x＝n，n∈A}＝{0,1，2，3，2}．所以A∩B＝{0,1,2}，其真子集个数为2－1＝7个，故选C.
3．随着经济水平及个人消费能力的提升，我国居民对精神层面的追求愈加迫切，如图是2007年到2017年我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出同比增速的折线图，图中显示2007年的同比增速约为10%，即2007年与2006年同时期比较2007年的人均消费支出费用是2006年的1.1倍．则下列表述中正确的是( )
3
A．2007年到2017年，我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出的费用逐年增加 B．2007年到2017年，同比增速的中位数约为10%
C．2011年我国城镇居民教育、文化、服务人均消费支出的费用最高 D．2007年到2017年，同比增速的极差约为12% 答案 B
解析 A错误，因为2013年人均消费支出的费用减少；B正确，2007年到2017年，同比增速由小到大排序后依次是2013年、2008年、2014年、2009年、2017年、2012年、2010
年、2007年、2016年、2015年、2011年，中位数约为10%；C错误，2011年只是增速最大；D错误，极差约为16%.
4．1927年德国汉堡大学的学生考拉兹提出一个猜想：对于任意一个正整数，如果它是奇数，对它乘3再加1，如果它是偶数，对它除以2，这样循环，最终结果都能得到1.该猜想看上去很简单，但有的数学家认为“该猜想任何程度的解决都是现代数学的一大进步，将开辟全新的领域”．至于如此简单明了的一个命题为什么能够开辟一个全新的领域，这大概与其蕴含的“奇偶归一”思想有关．如图是根据考拉兹猜想设计的一个程序框图，则①处应填写的条件及输出的结果i分别为( )
A．a是偶数？ 6 C．a是奇数？ 5 答案 D
解析 由已知可得，①处应填写“a是奇数？”．a＝10，i＝1；a＝5，i＝2；a＝16，i＝3；a＝8，i＝4；a＝4，i＝5；a＝2，i＝6；a＝1，i＝7，退出循环，输出的i＝7.故选D.
2x－y－2≥0，??
5．点P(x，y)为不等式组?3x＋y－8≤0，
??x＋2y－1≥0值为( )
11
A．－ B．－2 C．－3 D．－
23答案 D
2x－y－2≥0，??
解析 如图所示，不等式组?3x＋y－8≤0，
??x＋2y－1≥0
B．a是偶数？ 8 D．a是奇数？ 7
所表示的平面区域内的动点，则的最小yx
??3x＋y－8＝0，
所表示的平面区域为图中阴影部分．由?
?x＋2y－1＝0，???x＝3，
可得?
?y＝－1，?
故A(3，－1).的几何意义为直线OP的斜率，故当点P与点A重合时，
yx1
直线OP的斜率最小，此时kOP＝kOA＝－.
3
6．已知数列{an}是等差数列，若Tn＝na1＋(n－1)a2＋…＋2an－1＋an(n≥2)，且T2＝7，T3
＝16，则an＝( )
A．n＋1 B．2n－1 C．3n－1 D．4n－3 答案 A
解析 设数列{an}的公差为d，由已知可得，T2＝2a1＋a2＝3a1＋d＝7，T3＝3a1＋2a2＋a3
＝6a1＋4d＝16，解得a1＝2，d＝1，∴an＝n＋1.
7．(2019·全国卷Ⅰ)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的夹角为( )
A.
ππ2π5π B. C. D. 6336
答案 B
解析 设a与b的夹角为θ，∵(a－b)⊥b，∴(a－b)·b＝0，即a·b－|b|＝0.又a·b1π22
＝|a||b|·cosθ，|a|＝2|b|，∴2|b|cosθ－|b|＝0，∴cosθ＝.又0≤θ≤π，∴θ＝.
23故选B.
8．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为( )
2
42
A．4 B．2 C. D.
33答案 D
122
解析 该几何体的直观图，如图所示，其体积V＝×1×2＝.
33
2sinC－sinBacosB9．在△ABC中，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且＝，则A＝( )
sinBbcosAA.
πππ2π
B. C. D. 6433
答案 C
2sinC－sinBacosB解析 因为＝，
sinBbcosA2sinC－sinBsinAcosB所以由正弦定理得＝.
sinBsinBcosA又sinB≠0，
所以2sinCcosA－sinBcosA＝sinAcosB，
1
所以2sinCcosA＝sinBcosA＋sinAcosB＝sin(A＋B)＝sinC，又sinC≠0，所以cosA＝，
2
A＝.
10．(2018·全国卷Ⅰ)下图来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形ABC的斜边BC，直角边AB，AC，△ABC的三边所围成的区域记为Ⅰ，黑色部分记为Ⅱ，其余部分记为Ⅲ.在整个图形中随机取一点，此点取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别记为p1，p2，p3，则( )
π3
A．p1＝p2 B．p1＝p3 C．p2＝p3 D．p1＝p2＋p3 答案 A
解析 设AB＝b，AC＝a，BC＝c，则a＋b＝c，
2
2
2
SⅠ＝ab，
12
1?c?1
SⅢ＝π??2－ab，
2?2?21?b?1?a?
SⅡ＝π??2＋π??2－SⅢ
22
2
??
2
??
2
πbπaπc1
＝＋－＋ab
8882＝
π22211
(b＋a－c)＋ab＝ab， 822
22
所以SⅠ＝SⅡ，故p1＝p2.
x2y2
11．设双曲线C：2－2＝1(a>0，b>0)的左焦点为F，直线4x－3y＋20＝0过点F且与双
ab曲线C在第二象限的交点为P，O为原点，|OP|＝|OF|，则双曲线C的离心率为( )
55
A．5 B.5 C. D.
34答案 A
解析 根据直线4x－3y＋20＝0与x轴的交点F为(－5，0)，可知半焦距c＝5， 设双曲线C的右焦点为F2，连接PF2，根据|OF2|＝|OF|且|OP|＝|OF|可得，△PFF2为直角三角形．
解法一：如图，过点O作OA垂直于直线4x－3y＋20＝0，垂足为A，则易知OA为△PFF2
的中位线，
又原点O到直线4x－3y＋20＝0的距离d＝4， 所以|PF2|＝2d＝8，
|PF|＝|FF2|－|PF2|＝6，故结合双曲线的定义可知|PF2|－|PF|＝2a＝2，所以a＝1，故e＝＝5.故选A.
444
解法二：由于直线4x－3y＋20＝0的斜率为k＝，故tan∠PFF2＝，故sin∠PFF2＝，335且|FF2|＝10，所以|PF2|＝8，|PF|＝6，由双曲线定义知|PF2|－|PF|＝2a＝2，故a＝1，e＝＝5，故选A.
2
2
caca
2020届高考数学大二轮复习刷题首秧第二部分刷题型选填题七文2
