函数的基本性质
教学目标
1）掌握函数的基本性质（单调性、最大值或最小值、奇偶性），能应用函数的基本性质解决一些问题。
（2）从形与数两方面理解函数单调性的概念，初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法．
（3）了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点
（1）判断或证明函数的单调性；
（2）奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 教学过程 一、
函数的单调性
1．单调函数的定义
（1）增函数：一般地，设函数f(x)的定义域为I：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1?x2时都有f(x1)?f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
（2）减函数：如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当
x1?x2时都有f(x1)?f(x2)，那么就说f(x)在这个区间上是减函数。
（3）单调性：如果函数y?f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数
y?f(x)在这一区间具有（严格的）单调性，这一区间叫做y?f(x)的单调区间。
2、单调性的判定方法 （1）定义法：
判断下列函数的单调区间：y?1 x2（2）图像法：从左往右，图像上升即为增函数，从左往右，图像下降即为减函数。 （3）复合函数的单调性的判断：
设y?f(x)，u?g(x)，x?[a,b]，u?[m,n]都是单调函数，则y?f[g(x)]在
[a,b]上也是单调函数。
①若y?f(x)是[m,n]上的增函数，则y?f[g(x)]与定义在[a,b]上的函数u?g(x)的单调性相同。
②若y?f(x)是[m,n]上的减函数，则y?f[g(x)]与定义在[a,b]上的函数u?g(x)的单调性相同。
即复合函数的单调性：当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数；当内外层函数的
单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说：同增异减（类似于“负负得正”） 练习：（1）函数y?为 ．
（2）y?4?x2的单调递减区间是 ，单调递增区间
1x?4x?52的单调递增区间为 ．
3、函数单调性应注意的问题：
①单调性是对定义域内某个区间而言的，离开了定义域和相应区间就谈不上单调性． ②对于某个具体函数的单调区间，可以是整个定义域(如一次函数)，可以是定义域内某个区间(如二次函数)，也可以根本不单调(如常函数)．
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增（或减）函数，一般不能认为函数在上是增（或减）函数 4．例题分析 证明：函数f(x)?1在(0,??)上是减函数。 x证明：设任意x1，x2∈（0，+∞）且x1?x2， 则f(x1)?f(x2)?11x2?x1??， x1x2x1x2由x1，x2∈（0，+∞），得x1x2?0，又x1?x2，得x2?x1?0， ∴f(x1)?f(x2)?0，即f(x1)?f(x2)
所以，f(x)?1在(0,??)上是减函数。 x说明：一个函数的两个单调区间是不可以取其并集，比如：y?1不能说 x(??,0)?(0,??)是原函数的单调递减区间；
练习：1．．根据单调函数的定义，判断函数f(x)?x?1的单调性。 2．根据单调函数的定义，判断函数f(x)?二、函数的奇偶性 1．奇偶性的定义：
（1）偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
3x的单调性。
f(?x)?f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数。例如：函数f(x)?x2?1,
f(x)?x4?2等都是偶函数。
（2）奇函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有
f(?x)??f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数。例如：函数f(x)?x，f(x)?奇函数。
1都是x（3）奇偶性：如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。
说明：从函数奇偶性的定义可以看出，具有奇偶性的函数： （1）其定义域关于原点对称；
（2） f(?x)?f(x)或f(?x)??f(x)必有一成立。
因此，判断某一函数的奇偶性时，首先看其定义域是否关于原点对称，若对称，再计算f(?x)，看是等于f(x)还是等于?f(x)，然后下结论；若定义域关于原点不对称，则函数没有奇偶性。
（3）无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《函数的基本性质》教案设计
