函数的基本性质
教学目标
1)掌握函数的基本性质(单调性、最大值或最小值、奇偶性),能应用函数的基本性质解决一些问题。
(2)从形与数两方面理解函数单调性的概念,初步掌握利用函数图象和单调性定义判断、证明函数单调性的方法.
(3)了解奇偶性的概念,回 会利用定义判断简单函数的奇偶性。 重点与难点
(1)判断或证明函数的单调性;
(2)奇偶性概念的形成与函数奇偶性的判断。 教学过程 一、
函数的单调性
1.单调函数的定义
(1)增函数:一般地,设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当x1?x2时都有f(x1)?f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数。
(2)减函数:如果对于属于I内某个区间上的任意两个自变量的值x1、x2,当
x1?x2时都有f(x1)?f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数。
(3)单调性:如果函数y?f(x)在某个区间是增函数或减函数。那么就说函数
y?f(x)在这一区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y?f(x)的单调区间。
2、单调性的判定方法 (1)定义法:
判断下列函数的单调区间:y?1 x2(2)图像法:从左往右,图像上升即为增函数,从左往右,图像下降即为减函数。 (3)复合函数的单调性的判断:
设y?f(x),u?g(x),x?[a,b],u?[m,n]都是单调函数,则y?f[g(x)]在
[a,b]上也是单调函数。
①若y?f(x)是[m,n]上的增函数,则y?f[g(x)]与定义在[a,b]上的函数u?g(x)的单调性相同。
②若y?f(x)是[m,n]上的减函数,则y?f[g(x)]与定义在[a,b]上的函数u?g(x)的单调性相同。
即复合函数的单调性:当内外层函数的单调性相同时则复合函数为增函数;当内外层函数的
单调性相反时则复合函数为增减函数。也就是说:同增异减(类似于“负负得正”) 练习:(1)函数y?为 .
(2)y?4?x2的单调递减区间是 ,单调递增区间
1x?4x?52的单调递增区间为 .
3、函数单调性应注意的问题:
①单调性是对定义域内某个区间而言的,离开了定义域和相应区间就谈不上单调性. ②对于某个具体函数的单调区间,可以是整个定义域(如一次函数),可以是定义域内某个区间(如二次函数),也可以根本不单调(如常函数).
③函数在定义域内的两个区间A,B上都是增(或减)函数,一般不能认为函数在上是增(或减)函数 4.例题分析 证明:函数f(x)?1在(0,??)上是减函数。 x证明:设任意x1,x2∈(0,+∞)且x1?x2, 则f(x1)?f(x2)?11x2?x1??, x1x2x1x2由x1,x2∈(0,+∞),得x1x2?0,又x1?x2,得x2?x1?0, ∴f(x1)?f(x2)?0,即f(x1)?f(x2)
所以,f(x)?1在(0,??)上是减函数。 x说明:一个函数的两个单调区间是不可以取其并集,比如:y?1不能说 x(??,0)?(0,??)是原函数的单调递减区间;
练习:1..根据单调函数的定义,判断函数f(x)?x?1的单调性。 2.根据单调函数的定义,判断函数f(x)?二、函数的奇偶性 1.奇偶性的定义:
(1)偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
3x的单调性。
f(?x)?f(x),那么函数f(x)就叫做偶函数。例如:函数f(x)?x2?1,
f(x)?x4?2等都是偶函数。
(2)奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有
f(?x)??f(x),那么函数f(x)就叫做奇函数。例如:函数f(x)?x,f(x)?奇函数。
1都是x(3)奇偶性:如果函数f(x)是奇函数或偶函数,那么我们就说函数f(x)具有奇偶性。
说明:从函数奇偶性的定义可以看出,具有奇偶性的函数: (1)其定义域关于原点对称;
(2) f(?x)?f(x)或f(?x)??f(x)必有一成立。
因此,判断某一函数的奇偶性时,首先看其定义域是否关于原点对称,若对称,再计算f(?x),看是等于f(x)还是等于?f(x),然后下结论;若定义域关于原点不对称,则函数没有奇偶性。
(3)无奇偶性的函数是非奇非偶函数。
人教版高中数学必修一《集合与函数概念》之《函数的基本性质》教案设计
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