22．（10分）（2019?商丘一模）如图．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，点D是射线BC上一动点，过点B作BE⊥AD，垂足为点E，交直线AC于点P． [问题发现]
（1）如图（1），若点D在BC的延长线上，且点E在线段AD上，试猜想AP，CD，BC之间的数量关系为 BC＝AP+CD ； [类比探究]
（2）如图（2），若点D在线段BC上，试猜想AP，CD，BC之间的数量关系，并说明理由； [拓展应用]
（3）当点E为BP的中点时，直接写出线段CD的长度．
【考点】KY：三角形综合题．
【专题】553：图形的全等；554：等腰三角形与直角三角形．
【分析】[问题发现]（1）由题意可得∠DAC＝∠DBE，根据“ASA”可证△ACD≌△BCP，可得CD＝CP，即可求出AP，CD，BC之间的数量关系；
[类比探究]（2）由题意可得∠PAE＝∠PBC，根据“ASA”可证△ACD≌△BCP，可得CD＝CP，即可求出AP，CD，BC之间的数量关系；
[拓展应用]（3）过点D作DM⊥AB，根据线段垂直平分线的性质，可得AB＝AP，根据等腰三角形的性质可得∠DAC＝∠DAB，根据“AAS”可证△ACD≌△AMD，可得AC＝AM＝2，CD＝DM，根据勾股定理和等腰三角形的判定可求CD＝DM＝BM的长度． 【解答】解：[问题发现]
（1）∵∠ACB＝90°，BE⊥AD，
∴∠D+∠DAC＝90°，∠D+∠DBE＝90°， ∴∠DAC＝∠DBE，且∠ACB＝∠ACD，AC＝BC， ∴△ACD≌△BCP（ASA）
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∴CD＝CP ∵BC＝AC＝CP+AP ∴BC＝AP+CD [类比探究] （2）AP＝BC+CD
理由如下：∵∠ACB＝90°，BE⊥AD， ∴∠P+∠PAE＝90°，∠P+∠PBC＝90°， ∴∠PAE＝∠PBC，且∠ACB＝∠BCP，AC＝BC， ∴△ACD≌△BCP（ASA） ∴CD＝CP ∵AP＝AC+CP ∴AP＝BC+CD [拓展应用]
（3）如图，过点D作DM⊥AB，垂足为点M，
∵AE⊥BE，点E是PB中点， ∴AP＝AB，且AE⊥BE， ∴∠DAC＝∠DAM
∵∠DAC＝∠DAM，AD＝AD，∠ACD＝∠AMD＝90°， ∴△ACD≌△AMD（AAS） ∴AC＝AM＝2，CD＝DM， ∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2， ∴AB＝2
，∠ABC＝45°，
﹣2，
∴MB＝AB﹣AM＝2
∵DM⊥AB，∠ABC＝45°
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∴∠MDB＝∠ABC＝45°， ∴DM＝BM＝2∴CD＝2
﹣2
﹣2
当点D在BC的延长线上，如图，
同理可得CD＝CP＝AP+CA＝2+2
【点评】本题是三角形综合题，考查了等腰三角形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，熟练运用等腰三角形的性质解决问题是本题的关键．
23．（11分）（2019?富顺县三模）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c与x轴交于点A和点B（3，0），与y轴交于点C（0，3），点D是抛物线的顶点，过点D作x轴的垂线，垂足为E，连接DB．
（1）求此抛物线的解析式及顶点D的坐标；
（2）点M是抛物线上的动点，设点M的横坐标为m． ①当∠MBA＝∠BDE时，求点M的坐标；
②过点M作MN∥x轴，与抛物线交于点N，P为x轴上一点，连接PM，PN，将△PMN沿着MN翻折，得△QMN，若四边形MPNQ恰好为正方形，直接写出m的值．
【考点】HF：二次函数综合题．
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【专题】16：压轴题．
【分析】（1）利用待定系数法即可解决问题； （2）①根据tan∠MBA＝构建方程即可解决问题；
②因为点M、N关于抛物线的对称轴对称，四边形MPNQ是正方形，推出点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP＝1，易证GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|，解方程即可解决问题；
【解答】解：（1）把点B（3，0），C（0，3）代入y＝﹣x2+bx+c， 得到
，解得
， ＝
，tan∠BDE＝
＝，由∠MBA＝∠BDE，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+2x+3． ∵y＝﹣x2+2x﹣1+1+3＝﹣（x﹣1）2+4， ∴顶点D坐标（1，4）．
（2）①作MG⊥x轴于G，连接BM．则∠MGB＝90°，设M（m，﹣m2+2m+3），
∴MG＝|﹣m2+2m+3|，BG＝3﹣m， ∴tan∠MBA＝
＝
，
∵DE⊥x轴，D（1，4），
∴∠DEB＝90°，DE＝4，OE＝1， ∵B（3，0）， ∴BE＝2， ∴tan∠BDE＝
＝，
∵∠MBA＝∠BDE， ∴
＝
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当点M在x轴上方时，解得m＝﹣或3（舍弃）， ∴M（﹣，）， 当点M在x轴下方时，解得m＝﹣或m＝3（舍弃），
∴点M（﹣，﹣），
＝，
＝，
综上所述，满足条件的点M坐标（﹣，）或（﹣，﹣）；
②如图中，∵MN∥x轴，
∴点M、N关于抛物线的对称轴对称， ∵四边形MPNQ是正方形，
∴点P是抛物线的对称轴与x轴的交点，即OP＝1， 易证GM＝GP，即|﹣m2+2m+3|＝|1﹣m|， 当﹣m2+2m+3＝1﹣m时，解得m＝当﹣m2+2m+3＝m﹣1时，解得m＝∴满足条件的m的值为
或
， ， ；
【点评】本题考查二次函数综合题、锐角三角函数、正方形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，学会利用参数构建方程解决问题，属于中考压轴题．
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2019年河南省商丘市中考数学一模试卷
