章末复习课
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1．进行类比推理时，可以从①问题的外在结构特征，②图形的性质或维数．③处理一类问题的方法．④事物的相似性质等入手进行类比．要尽量从本质上去类比，不要被表面现象迷惑，否则，只抓住一点表面的相似甚至假象就去类比，就会犯机械类比的错误．
2．进行归纳推理时，要把作为归纳基础的条件变形为有规律的统一的形式，以便于作出归纳猜想．
3．推理证明过程叙述要完整、严谨、逻辑关系清晰、不跳步．
4．注意区分演绎推理和合情推理，当前提为真时，前者结论一定为真，而后者结论可能为真也可能为假．合情推理得到的结论其正确性需要进一步推证，合情推理中运用猜想时要有依据．
5．用反证法证明数学命题时，必须把反设作为推理依据．书写证明过程时，一定要注意不能把“假设”误写为“设”，还要注意一些常见用语的否定形式．
6．分析法的过程仅需要寻求结论成立的充分条件即可，而不是充要条件．分析法是逆推证明，故在利用分析法证明问题时应注意逻辑性与规范性．
专题一 合情推理
合情推理包括归纳推理和类比推理，归纳推理是由部分到整体，由特殊到一般的推理，后面是由特殊到特殊的推理．但二者都能由已知推测未知，都能用于猜想，具有发现功能，
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但推理的结论不一定为真，有待进一步证明．
[例1] (1)(2015·陕西卷)观察下列等式： 111－＝
22
111111－＋－＝＋
23434
111111111－＋－＋－＝＋＋
23456456……
据此规律，第n个等式可为_______________________________．
(2)设△ABC的三边长分别为a，b，c，△ABC的面积为S，内切圆半径为r，则r＝
2S；
a＋b＋c类比这个结论可知，四面体ABCD的四个面的面积分别为S1，S2，S3，S4，四面体ABCD的体积为V，内切球半径为R，则R＝________．
解析：(1)由给出的等式看，左边共有2n项且等式左边分母分别为1，2，3，…，2n，分子均为1，且奇数项为正，偶数项为负．
111
等式的右边共n项，且分母分别为n＋1，n＋2，…2n.分子均为1，因此猜想1－＋－
23411111
＋……＋－＝＋＋…＋
2n－12nn＋1n＋22n类比类比(2)三角形边长――→四面体各面面积，三角形的面积――→四面体体积 因此R＝
3V
S1＋S2＋S3＋S4
11111111
答案：(1)1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋.
2342n－12nn＋1n＋22n(2)R＝
3V
S1＋S2＋S3＋S4
归纳升华
1．归纳推理中，从特殊发现各项的变化规律，特别是各项的符号变化；从已知相同特征中推出一个明确表述的一般性命题．
2．类比推理重在考察观察和比较的能力，题目一般情况下较为新颖，也有一定的探索性． [变式训练] (1)有一个奇数列1，3，5，7，9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含两个数{3，5}；第三组含三个数{7，9，11}；第四组含四个数{13，15，17，19}；….则观察每组内各数之和f(n)(n∈N)与组的编号数n的关系式为________．
(2)在平面几何中，对于Rt△ABC，设AB＝c，AC＝b，BC＝a，则△ABC的外接圆半径为r122
＝ a＋b，把上述结论类比到空间，写出类似的结论． 2
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*
(1)解析：由于1＝1，3＋5＝8＝2，7＋9＋11＝27＝3，13＋15＋17＋19＝64＝4，…，猜想第n组内各数之和f(n)与组的编号数n的关系式为f(n)＝n.
答案：f(n)＝n
(2)解：取空间中三条侧棱两两垂直的四面体A-BCD且AB＝a，AC＝b，AD＝c，则此四面1222
体的外接球的半径为R＝ a＋b＋c.
2
专题二 演绎推理
演绎推理是由一般到特殊的推理方法，又叫逻辑推理，在前提和推理形式均正确的前提下，得到的结论一定正确，演绎推理的内容一般是通过合情推理获取．
演绎推理的形式一般为“三段论”的形式，即大前提、小前提和结论． 12
[例2] 已知函数f(x)＝x＋aln x(a∈R)．
2(1)若f(x)在[1，e]上是增函数，求a的取值范围． 23
(2)若a＝1，1≤x≤e，证明：f(x) 3 解：(1)因为f′(x)＝x＋，且f(x)在[1，e]上是增函数， 所以f′(x)＝x＋≥0在[1，e]上恒成立， 即a≥－x在[1，e]上恒成立，所以a≥－1. 12 (2)当a＝1时，f(x)＝x＋ln x，x∈[1，e] 2231223 令F(x)＝f(x)－x＝x＋ln x－x， 323又F′(x)＝x＋－2x＝ 1 2 2 3 3 3333 axax（1－x）（1＋x＋2x） 2 xx≤0， 所以F(x)在[1，e]上是减函数， 12 所以F(x)≤F(1)＝－<0， 2323 所以x∈[1，e]时，f(x) 3归纳升华 数学中的演绎推理一般是以三段论的格式进行的．三段论由大前提、小前提和结论三个命题组成，大前提是一个一般性原理，小前提给出了适合这个原理的一个特殊场合，结论是大前提和小前提的逻辑结果． 1 [变式训练] 若定义在区间D上函数f(x)对于D上的几个值x1，x2，…，xn总满足[f(x1) n - 1 - ＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f? ?x1＋x2＋…＋xn?称函数f(x)为D上的凸函数，现已知f(x)＝sin x?n?? 在(0，π)上是凸函数，则在△ABC中，sin A＋sin B＋sin C的最大值是________． 1?x1＋x2＋…＋xn?， 解析：因为[f(x1)＋f(x2)＋…＋f(xn)]≤f?? n? n? 因为f(x)＝sin x在(0，π)上是凸函数， 所以f(A)＋f(B)＋f(C)≤3f? ?A＋B＋C?， ? ?n? π33 即sin A＋sin B＋sin C≤3sin ＝， 3233 所以sin A＋sin B＋sin C的最大值是. 2答案： 33 2 专题三 综合法与分析法证明数学命题 综合法是从原因推测结果的思维方法，即从已知条件出发，经过逐步的推理，最后达到待证的结论，这是常用的数学方法． 分析法是从待证的结论出发，一步一步地寻找结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实． [例3] (2016·全国Ⅲ卷)如图，四棱锥PABCD中，PA⊥底面ABCD，AD∥BC，AB＝AD＝AC＝3，PA＝BC＝4，M为线段AD上一点，AM＝2MD，N为PC的中点． (1)证明：MN∥平面PAB； (2)求四面体NBCM的体积． (1)证明：因为AM＝2MD， - 1 - 2 所以AM＝AD＝2. 3 取BP的中点T，连接AT，TN，如图所示，由N是PC的中点知，TN∥BC. TN＝BC＝2. 因为AD∥BC， 所以TN∥AM. 又BC＝4， 1 所以AM＝BC. 2因为TN＝AM. 所以四边形AMNT为平行四边形． 所以MN∥AT. 因为AT?平面PAB，MN?平面PAB， 所以MN∥平面PAB. (2)解：因为PA⊥平面ABCD，N为PC的中点， 1 所以N到平面ABCD的距离为PA＝2. 2取BC的中点E，连接AE. 因为AB＝AC＝3， 所以AE⊥BC，AE＝AB－BE＝3－2＝5. 由AM∥BC得点M到BC的距离为5. 1 所以S△BCM＝×4×5＝25. 2所以四面体N-BCM的体积 2 2 2 2 12 VNBCM145＝×S△BCM×2＝. 33 归纳升华 综合法和分析法是直接证明中的两种最基本的证明方法，但两种证明方法思路截然相反，分析法即可用于寻找解题思路，也可以是完整的证明过程，分析法与综合法可相互转换，相互渗透，要充分利用这一辩证关系，在解题中综合法和分析法联合运用，转换解题思路，增加解题途径．一般以分析法为主寻求解题思路，再用综合法有条理地表示证明过程． [变式训练] 在△ABC中，三个内角A，B，C对应的边分别为a，b，c，且A，B，C成等差数列，a，b，c成等比数列，求证：△ABC为等边三角形． 证明：由A，B，C成等差数列，有2B＝A＋C.① - 1 -
高中数学人教A版选修1-2：第二章 章末复习课 Word版含答案
