第35讲 等比数列及其前n项和
夯实基础 【p74】
【学习目标】
1．掌握等比数列的定义与性质、通项公式、前n项和公式等． 2．掌握等比数列的判断方法． 3．掌握等比数列求和的方法．
【基础检测】
1．等比数列{an}中，a3＝27，a5＝243，则a1与a7的等比中项为( ) A．±81 B．81 C．－81 D．27
2
【解析】∵a1·a7＝a4＝a3a5，
∴a1与a7的等比中项为±a4＝±a3a5＝±27×243＝±81. 【答案】A
2．记等比数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝15，a2＋a4＝10，则a2＝( ) A．1 B．－2 C．2 D．－1
?a1＋a1q＋a1q＋a1q＝15，【解析】由题得?
?a1q＋a1q3＝10，
∴a1＝1，q＝2，∴a2＝1×2＝2. 【答案】C
3．记等比数列{an}的前n项和为Sn，且满足2Sn＝2n1＋λ，则λ的值为( )
＋
23
A．4 B．2 C．－2 D．－4
【解析】根据题意，当n＝1时，2S1＝2a1＝4＋λ，
故当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2n1，
－
∵数列{an}是等比数列，
4＋λ
则a1＝1，故＝1，解得λ＝－2.
2【答案】C
4．数列{an}为正项等比数列，若a3＝3，且an＋1＝2an＋3an－1(n∈N，n≥2)，则此数列的前5项和S5等于( )
121119241A. B．41 C. D. 339
【解析】因为an＋1＝2an＋3an－1，所以q2＝2q＋3， a3a3121∵q>0，∴q＝3，S5＝2＋＋a3＋a3q＋a3q2＝ .
qq3【答案】A
5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N)，则其通项an＝________．
*
【解析】因为a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N)，所以an＋1＋1＝2(an＋1)，则数列{an＋1}是
*
以2为首项，2为公比的等比数列．an＋1＝2×2n1，即an＝2n－1.
－
【答案】2n－1 【知识要点】 1．等比数列的定义
一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母__q__表示(q≠0)．
2．等比数列的通项公式
设等比数列{an}的首项为a1，公比为q，则它的通项an＝a1·qn1(n∈N*)．
－
3．等比中项
若G2＝a·b(ab≠0)，那么G叫做a与b的等比中项． 4．等比数列的前n项和公式
等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn，
当q＝1时，Sn＝na1；
a1（1－qn）a1－anq
当q≠1时，Sn＝＝.
1－q1－q5．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn
－m
(n，m∈N*)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，则ak·al＝am·an．
?1??an?
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，?a?，{a2n}，{an·bn}，?b?仍是
?n?
?n?
等比数列．
(4)等比数列前n项和的性质
公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为__qn__．
典 例 剖 析 【p75】
考点1 等比数列基本量的运算
例1(1)等比数列{an}中，an>0，a1＋a2＝6，a3＝8，则a6＝( ) A．64 B．128 C．256 D．512
【解析】由题意结合等比数列的通项公式可得：
?a1＋a1q＝6，?2?a1＝2，aq＝8，?1解得：?则a6＝a1q5＝2×25＝64.
?q＝2，??a1>0，
【答案】A
(2)已知{an}为等比数列，a4＋a7＝2，a5a6＝－8，则a1＋a10＝( ) A．－7 B．－5 C．7 D．5
【解析】由题得a4a7＝－8，因为a4＋a7＝2，∴a4＝4，a7＝－2或a4＝－2，a7＝4，
3?1??a1q＝4，?a1q＝－2，?即?6或?6∴?31?aq＝4，aq＝－2??11?q＝－
3
a＝－8，
?
?a1＝1，
或?3
q＝－2，?2
1
－?＝－7或1＋(－2)3＝－7. 所以a1＋a10＝－8＋(－8)??2?【答案】A
3
考点2 等比数列的性质
例2(1)在各项均为正数的等比数列{an}中，若a5a11＝4，a6a12＝8，则a8a9＝________
2
【解析】由等比数列的性质得a28＝a5a11＝4，a9＝a6a12＝8，
因为数列的各项均为正， 所以a8＝2，a9＝22， 所以a8a9＝42. 【答案】42
22(2)数列{an}中，已知对任意n∈N*，a1＋a2＋a3＋…＋an＝3n－1，则a1＋a22＋a3＋…＋
a2n等于( )
1
A．(3n－1)2 B.(9n－1)
21
C．9n－1 D.(3n－1)
4
【解析】∵a1＋a2＋…＋an＝3n－1，n∈N*，n≥2时，a1＋a2＋…＋an－1＝3n1－1，
－
∴当n≥2时，an＝3n－3n1＝2·3n1，又n＝1时，a1＝2满足上式，
－
－
2∴an＝2·3n1，故数列{an}是首项为4，公比为9的等比数列．
－
因此
4（1－922
a2＋a＋…＋a＝12n
）1n
＝(9－1)． 21－9
n
【答案】B
考点3 等比数列的判定与证明
2
例3已知数列{an}和{bn}满足a1＝λ，an＋1＝an＋n－4，bn＝(－1)n(an－3n＋21)，其中λ
3
为实数，n为正整数．
(1)证明：对任意实数λ，数列{an}不是等比数列； (2)证明：当λ≠－18时，数列{bn}是等比数列． 【解析】(1)假设存在一个实数λ，使{an}是等比数列， 则有
a22＝a1a3，即
?2λ－3?＝λ?4λ－4?
?3??9?
2
424
λ－4λ＋9＝λ2－4λ9＝0，矛盾． 99所以对任意实数λ，{an}不是等比数列． (2)bn＋1＝(－1)n1[an＋1－3(n＋1)＋21]
＋
＋2an－2n＋14? ＝(－1)n1??3?
22＝－(－1)n·(an－3n＋21)＝－bn.
33又λ≠－18，所以b1＝－(λ＋18)≠0. bn＋12由上式知bn≠0，所以＝－(n∈N*)．
bn3
2
故当λ≠－18时，数列{bn}是以－(λ＋18)为首项，－为公比的等比数列．
3【点评】等比数列的四种常用判定方法
an＋1an(1)定义法：若＝q(q为非零常数，n∈N*)或＝q(q为非零常数且n≥2，n∈N*)，
anan－1
则{an}是等比数列．
(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0且a2an＋2(n∈N*)，则数列{an}是等比数列． n＋1＝an·(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn1(c，q均是不为0的常数，n∈N*)，
－
则{an}是等比数列．
(4)前n项和公式法：若数列{an}的前n项和Sn＝k·qn－k(k为常数且k≠0，q≠0，1)，则{an}是等比数列．
其中，(1)，(2)是判定等比数列的常用方法，常用于证明，(3)，(4)常用于选择题、填空题中的判定．
2020版新课标·名师导学·高考第一轮总复习理科数学 第六章数列第35讲 等比数列及其前n项和
