第1讲 数列的概念与简单表示法
1．设数列{an}的前n项和Sn＝n，则a8的值为________． 解析：a8＝S8－S7＝64－49＝15. 答案：15 2．数列
51017a－b，，，，…中，有序实数对(a，b)可以是________． 38a＋b24
2
解析：法一：由数列中的项可观察规律，得 5－3＝10－8＝17－(a＋b)＝(a－b)－24＝2， 41
a＝，??2?a＋b＝15，?
则?解得? ?a－b＝26，11?
??b＝－2.法二：由数列中各项分母可观察规律为4－1，9－1，16－1，25－1，…， 分子规律为4＋1，9＋1，16＋1，25＋1，…， 41
a＝，??2??a＋b＝15，
?所以解得? ?a－b＝26，11?
??b＝－2.答案：?
?41，－11? 2??2?
1*
3．数列{an}满足an＋an＋1＝(n∈N)，a2＝2，Sn是数列{an}的前n项和，则S21＝________.
21
解析：因为an＋an＋1＝，a2＝2，
23??－，n为奇数，
所以an＝?2
??2， n为偶数.7?3?所以S21＝11×?－?＋10×2＝. 2?2?7
答案： 2
??2an，n为正奇数，
4．(2019·江苏省模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝?则其前6
?an＋1，n为正偶数，?
项之和为________．
解析：a2＝2a1＝2，a3＝a2＋1＝3，a4＝2a3＝6，a5＝a4＋1＝7，a6＝2a5＝14，所以前6项和S6＝1＋2＋3＋6＋7＋14＝33.
1
答案：33
5．已知数列{an}满足ast＝asat(s，t∈N)，且a2＝2，则a8＝________． 解析：令s＝t＝2，则a4＝a2×a2＝4，令s＝2，t＝4，则a8＝a2×a4＝8. 答案：8
6．已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，且an＝解析：将a1＝1，a2＝2代入an＝
*
an－1
(n≥3)，则a2 016＝________． an－2
an－1a211
得a3＝＝2，同理可得a4＝1，a5＝，a6＝，a7＝an－2a122
1
1，a8＝2，故数列{an}是周期数列，周期为6，故a2 016＝a336×6＝a6＝.
2
1答案： 2
7．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足log2(Sn＋1)＝n＋1，则其通项公式为________． 解析：由已知条件可得Sn＋1＝2则Sn＝2
n＋1
n＋1
.
－1，当n＝1时，a1＝S1＝3，
n＋1
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝2－1－2＋1＝2，
nn??3，n＝1，n＝1时不适合an，故an＝?n
?2，n≥2.???3，n＝1，
答案：an＝?n
?2，n≥2?
8．(2019·江苏省名校高三入学摸底卷)已知数列{an}满足an＋2＝an＋1＋an(n∈N)，an＋
1
*
>an，an∈N，数列{bn}是公比为2的等比数列，bn∈N，若a10＝b10<2 018，则a1＋b1的值是
**
________．
解析：因为数列{bn}是公比为2的等比数列，所以bn＝b1·2
*
n－1
.因为b10＝2b1<2 018，
9
且b1∈N，所以b1∈{1，2，3}．由an＋2＝an＋1＋an得a10＝a9＋a8＝2a8＋a7＝3a7＋2a6＝…＝34a2512－34a29
＋21a1.若b1＝1，则a10＝b10＝2＝512，从而34a2＋21a1＝512，a1＝＝24－2a2＋
218（1＋a2）**
，因为an∈N，所以1＋a2＝21k(k∈N)，所以a1＝24－2(21k－1)＋8k＝26－34k<0，21不合题意，所以b1≠1；若b1＝2，则a10＝b10＝2＝1 024，从而34a2＋21a1＝1 024，a1＝1 024－34a216＋8a2
＝48－2a2＋，分析可取a2＝19，得a1＝18，符合题意；若b1＝3，则a10
2121＝b10＝3×2＝1 536，从而34a2＋21a1＝1 536，a1＝
9
10
1 536－34a23＋8a2
＝73－2a2＋，分析
2121
??a1＝10，??a1＝18，
可取a2＝39，得a1＝10，符合题意．综上所述，?或?故a1＋b1＝13或20.
?b1＝3?b1＝2，??
答案：13或20
2
4
9．(2019·南京四校第一学期联考)已知数列{an}满足a1＝，an＋1－1＝an(an－1)(n∈N*)，
3111
且Sn＝＋＋…＋，则Sn的整数部分的所有可能值构成的集合的真子集个数为________．
a1a2an4*2
解析：因为数列{an}满足a1＝，an＋1－1＝an(an－1)(n∈N)，所以an＋1－an＝(an－1)
344?4?
＞0，an＋1＞an，因此数列{an}单调递增．由a1＝，an＋1－1＝an(an－1)，得a2－1＝×?－1?，
33?3?
a2＝，同理a3＝
＜
13
913313 47718116 561，a4＝，＝＞1，＝＜1，所以当n≥4时，0816 561a3－152a4－16 916
1
＜1.另一方面由an＋1－1＝an(an－1)， an－1
1??11?11111?1－－得＝－，所以Sn＝＋＋…＋＝??＋??＋…
anan－1an＋1－1a1a2an?a1－1a2－1??a2－1a3－1?1
＋?
?1－1?＝3－1.当n＝1时，S＝1＝3，其整数部分为0；当n＝2时，S?12
an＋1－1a14?an－1an＋1－1?
39231
＝＋＝1＋，其整数部分为1；当n≥3时，Sn＝3－∈(2，3)，其整数部分为2.41352an＋1－1综上，Sn的整数部分的所有可能值构成的集合为{0，1，2}，其真子集的个数为2－1＝7.
答案：7
10．已知数列{an}的前n项和Sn＝2n＋2n，数列{bn}的前n项和Tn＝2－bn.求数列{an}与{bn}的通项公式．
解：因为当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(2n＋2n)－[2(n－1)＋2(n－1)]＝4n， 当n＝1时，a1＝S1＝4也适合， 所以{an}的通项公式是an＝4n(n∈N)．
因为Tn＝2－bn，所以当n＝1时，b1＝2－b1，b1＝1. 当n≥2时，bn＝Tn－Tn－1＝(2－bn)－(2－bn－1)， 所以2bn＝bn－1.
1
所以数列{bn}是首项为1，公比为的等比数列．
2
*
2
2
2
3
?1?所以bn＝???2?
的取值范围．
n－1
.
2
*
11．已知数列{an}的通项公式是an＝n＋kn＋4.若对于n∈N，都有an＋1>an，求实数k解：由an＋1>an知该数列是一个递增数列，又因为通项公式an＝n＋kn＋4，可以看作是
2
k3*
关于n的二次函数，考虑到n∈N，所以－<，即得k>－3.
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(江苏专用)2020版高考数学大一轮复习第五章数列1第1讲数列的概念与简单表示法刷好题练能力(文)
