第十章 曲线积分与曲面积分
§1 对弧长的曲线积分
计算公式：无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程
若L:??b22?x?x?t?''???a?t?b，则?f?x,y?ds??f?x?t?,y?t???x?t????y?t??dt ?La??y?y?t?
?x?x?t??若L:?y?y?t?a?t?b，则
??z?z?t??L'''????f?x,y,z?ds??f?x?t?,y?t?,z?t???xt?yt?z??????????t???dt ab222注意：上限一定要大于下限
计算下列对弧长的曲线积分
（1）?L(x2?y2)2ds，其中L为圆周x2?y2?a2； 解：法一：
222(x?y)ds???L45224?a(2?a)?2?a (a)ds?ads????LL法二：L:?2?x?acos??y?asin?220???2?，
222??(x?y)ds??[?acos????asin??]L2?0??asin??2??acos??d???a5d??2?a5
022?（2）?Lex2?y2222ds，其中L为圆周x?y?a，直线y?x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界；
x2?y2解：??eLx2?y2ds?(??????)eOAABBOds，其中
?x?x?x?x?x?acos??20?x?a OA:?,0?x?a，?AB:?,0???，BO:?y?xy?0y?asin?24?????oAeex2?y2ds??e0ax2?01?0dx??exdx?ea?1
022aB x2?y2?ABds???eds?eABx2?y2aa??ABds??aea4
A ??（或
??ABeds??4e02a2?acos??2??asin??2??asin????acos??d???04ead??a2a222?aea4）
?BOex2?y2ds??0ex2?x21?1dx??220e2x2dx?ea?1 故??eLx2?y2ds?ea(2??4a)?2
（3）?Lxds，其中L为抛物线y?2x2?1上介于x?0与x?1之间的一段弧；
222(1?16x)1?x?x230?x?1，得?xds??x1??4x?dx?解：由L:?2L032y?2x?1?（4）?Ly2ds，其中L为摆线的一拱x?a(t?sint),y?a(1?cost)(0?t?2?)；
310?1717?1 48解：
?Lyds??22?0?a(1?cost)?2[a?1?cost?]2??asint?dt2?2a3?2?0(1?cost)dt
52?2a3?2?0??2?t5422563tt35335(2sin)2dt?8a?sindt令??）?16a?sin?d??32a?2sin5?d??32a3???a
00025315222（5）?Lxyds，其中L为圆周x2?y2?a2； 解：利用对称性??xyds?4?LL1?x?acos?xyds，其中L1:??y?asin??00????2
222xyds?4xyds?4xyds?4(acos?)(asin?)(?asin?)?(acos?)d? ?????LL1L1???4a3?20cos?sin?d??2asin?3220?2a3
（6）??1ttty?esintx?ecostz?e，其中为曲线，，上相应于t从0变到2的弧段； ds?222x?y?z2'2'211ttds??[?ecost?]?[?esint?]?e2tdt 解：?222222?x?y?z0?etcost???etsint???et??32?t3?2edt?(1?e) ?022??x2?y2?z2?2（7）??yds，其中?为空间圆周： ?:?.
??y?x??x2?y2?z2?2?x?cos?22解：由?，得2x?z?2，令?y?x???z?2sin?0???2?
?x?cos??故?:?y?cos???z?2sin?0???2?。故
2???yds???2?0cos?sin2??sin2??2cos2?d??2?3?22?20cos?d?
?0?2[?2cos?d????cos?d???3?cos?d?]?42
2?x?acost?1． 螺旋形弹簧一圈的方程为： ?y?asint (0?t?2?)，设它的线密度为?(x,y,z)?x2?y2?z2，求：
?z?kt?（1） 它关于z轴的转动惯量Iz；（2）它的重心坐标. （1）Iz???xL2?y2??ds???x2?y2??x2?y2?z2?ds
L??a2?a2?k2t2?a2?k2dt?a2a2?k2?02?2?02222a?ktdt???3? a2a2?k2(3a2?4?2k2)
?（2）x???xLL2x?x?y?z?ds2222?y?z?ds22??2?0acost?a2?k2t2?a2?k2dt??a022?2?kt22?a?kdt22?a?kt?acostdt6ak???3a?4???a?kt?dt222202?222202?2k2（分子
采用分部积分法）
y?x?y?z?ds?asint?a?kt???y??x?y?zds?????a?kt?a22222?L0a2?k2dt22222222L0?k2dt?6? ak2?2 3a?4?2k2?z???xLLz?x2?y2?z2?ds2?y?z?ds22??2?00kt?a2?k2t2?a2?k2dt2??a2??k2t2?3?k(a2?2?2k2)= 222223a?4?ka?kdt§2 对坐标的曲线积分
无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程
1计算公式：若L:???x?x?t?t:???，（其中?,?分别始点和终点对应的参数），则 ??y?y?t????LP?x,y?dx?Q?x,y?dy??[P?x?t?,y?t??x'?t??Q?x?t?,y?t??y'?t?]dt
?x?x?t??若L:?y?y?t?t:???，（其中?,?分别始点和终点对应的参数），则
??z?z?t??P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz
L??[P?x?t?,y?t?,z?t??x'?t??Q?x?t?,y?t?,z?t??y'?t??R?x?t?,y?t?,z?t??z'?t?]dt
??注意：（1）对定向曲线才能说对坐标的曲线积；定向曲线的参数方程与未定向曲线的参数方程的不同：
① 定向曲线的参数表示为始点的参数到终点的参数而不管谁大谁小：t:???
② 未定向曲线的参数方程的参数表示为不等式：a?t?b （2）①弧长的积分转化为定积分时定积分的上限一定要大于下限
②对坐标的曲线积分转化为定积分时定积分的上限一定是终点的参数，下限是始点的参数，而不管上限是否一定要大于下限
2：两类曲线积分的关系
（1） 定向曲线的切向量及其方向余弦
??x?x?t?t:??? 若L:???y?y?t?①当???时，切向量为：x?t?,y?t?；方向余弦为cos??''??x'?t??x?t????y?t??'2'2,cos??y'?t??x?t????y?t??'2'2 ②当???时，切向量为：?x?t?,?y?t?；方向余弦为cos??''???x'?t??x?t????y?t??'2'2,cos???y'?t??x?t????y?t??'2'2 类似可以推广到空间曲线。 （2） 两类曲线积分的关系
?P?x,y?dx?Q?x,y?dy??[P?x,y?cos??Q?x,y?cos?]ds
LL其中cos?,cos?为定向曲线切向量的方向余弦
注意：把第二类曲线积分转化为第一类曲线积分其关键是求出切向量。特别要注意始点参数与终点参数大小关系对切向量符号的影响。
1． 把对坐标的曲线积分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy化为对弧长的曲线积分，其中L为： （1）从点（0，0）沿抛物线y?x2到点（1，1）；
?x?x解：L:?2?y?xcos??11??2x?x:0?1，由0?1，故在?x,y?处切向量为?1,2x?，所以
?11?4x22,，cos??2x1??2x?2?2x1?4x2所以
?LP?x,y?dx?Q?x,y?dy??[P?x,y?cos??Q?x,y?cos?]ds??LP(x,y)?2xQ(x,y)1?4x2Lds
（2）从点（0，0）沿上半圆周x2?y2?2xy?0到点（1，1）.
??x?x解：L:?2??y?2x?x?1?xx:0?1，由0?1，故在?x,y?处切向量为?1,2x?x2?1?x2x?x2?1?x?1???2?2x?x?L2??，所以 ?cos??1?1?x?1???2?2x?x?2?2x?x,cos??2?1?x，所以
?LP?x,y?dx?Q?x,y?dy??[P?x,y?cos??Q?x,y?cos?]ds??[2x?x2P(x,y)?(1?x)Q(x,y)]ds
L（或??[yP(x,y)?(1?x)Q(x,y)]ds）
L法二L:??x?1?cos???,?:??，由??，
22?y?sin?故切向量为??(?sin?),?cos??，即?sin?,?cos?? 所以
cos??sin??asin?????acos??L22?sin??y，cos???cos??sin?????cos??L22??cos??1?x，所以
?P?x,y?dx?Q?x,y?dy??[P?x,y?cos??Q?x,y?cos?]ds??[yP(x,y)?(1?x)Q(x,y)]ds
L2． 计算下列对坐标的曲线积分：
（1）?L(x2?y2)dx，其中L为抛物线y?x2上从点（0，0）到（2，4）的一段弧；
?x?x解：由L:?2?y?xx:0?2，得?(x2?y2)dx??(x2??x2?)dx??2L0256 15（2）?Lxy dx，其中L为圆周(x?a)2?y2?a2(a?0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界曲线弧（按逆时针方向）； 解：
??xy dx?(?LOA???AO?x?x?x?a?acos??)xydx，其中OA:?x:0?2a，AO:??:0?? y?0y?asin?a ??（注意此方程不是的极坐标方程，故不能说在极坐标系下?的范围?:0??，事实上极坐标方程为
r?2acos,?:0??2，故在极坐标系下?的范围为?:0??2）
O A ?OAxydx??x?0dx?0
02a??AOxydx???320a?acos??asin?d?a?cos????a??sin2??sin2?cos??d? ?003???22023故???a[2?sin?d???sin?cos?d?]??a(?0)???Lxy dx?0?(?2)??2 22（3）?L(1?2xy)dx?x2dy，L为从点（1，0）到点（-1，0）的上半椭圆周x2?2y2?1(y?0)；
??a3?a3?a3?x?cos??解：由L:??:0??，得 2sin??y??2?L(1?2xy)dx?xdy??[1?2cos?(02?22sin?)](?sin?)?cos2?cos?]d? 222?3cos?d??cos?2?0?0???sin?d??2?sin2?cos?d??00???0?2?sin2?dsin??0?2?2(1?sin?)dsin? 2?0sin3???2?23（4）?L?02?sin3????sin???2?3???2?0?0??2
(x?y)dx?(x?y)dyx2?y2，其中L为圆周x2?y2?a2（按逆时针方向）；
解：由L:??x?acos?(x?y)dx?(x?y)dy ?:0?2?，得?22?Lx?yy?asin????2?02?(acos??asin?)(?asin?)?(acos??asin?)acos?d????d???2?
0a2??x2?y2?1（5）??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?z)dz，其中?为椭圆周：?，且从z轴正方向看去，?取顺时针方向；
??x?y?z?2???x2?y2?1解：由? 得?:?y?sin???x?y?z?2?z?2?cos??sin???x?cos??:2??0，故
??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?z)dz???[(4cos?202??sin2?)?4(cos??sin?)?cos?sin?d???3??0?0??3?
（注意：易知
?2?0cos2?d???sin2?d?，所以
02?
高等数学II第十章-曲线积分与曲面积分
