好文档 - 专业文书写作范文服务资料分享网站

高等数学II第十章-曲线积分与曲面积分

天下 分享 时间: 加入收藏 我要投稿 点赞

第十章 曲线积分与曲面积分

§1 对弧长的曲线积分

计算公式:无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程

若L:??b22?x?x?t?''???a?t?b,则?f?x,y?ds??f?x?t?,y?t???x?t????y?t??dt ?La??y?y?t?

?x?x?t??若L:?y?y?t?a?t?b,则

??z?z?t??L'''????f?x,y,z?ds??f?x?t?,y?t?,z?t???xt?yt?z??????????t???dt ab222注意:上限一定要大于下限

计算下列对弧长的曲线积分

(1)?L(x2?y2)2ds,其中L为圆周x2?y2?a2; 解:法一:

222(x?y)ds???L45224?a(2?a)?2?a (a)ds?ads????LL法二:L:?2?x?acos??y?asin?220???2?,

222??(x?y)ds??[?acos????asin??]L2?0??asin??2??acos??d???a5d??2?a5

022?(2)?Lex2?y2222ds,其中L为圆周x?y?a,直线y?x及x轴在第一象限内所围成的扇形的整个边界;

x2?y2解:??eLx2?y2ds?(??????)eOAABBOds,其中

?x?x?x?x?x?acos??20?x?a OA:?,0?x?a,?AB:?,0???,BO:?y?xy?0y?asin?24?????oAeex2?y2ds??e0ax2?01?0dx??exdx?ea?1

022aB x2?y2?ABds???eds?eABx2?y2aa??ABds??aea4

A ??(或

??ABeds??4e02a2?acos??2??asin??2??asin????acos??d???04ead??a2a222?aea4)

?BOex2?y2ds??0ex2?x21?1dx??220e2x2dx?ea?1 故??eLx2?y2ds?ea(2??4a)?2

(3)?Lxds,其中L为抛物线y?2x2?1上介于x?0与x?1之间的一段弧;

222(1?16x)1?x?x230?x?1,得?xds??x1??4x?dx?解:由L:?2L032y?2x?1?(4)?Ly2ds,其中L为摆线的一拱x?a(t?sint),y?a(1?cost)(0?t?2?);

310?1717?1 48解:

?Lyds??22?0?a(1?cost)?2[a?1?cost?]2??asint?dt2?2a3?2?0(1?cost)dt

52?2a3?2?0??2?t5422563tt35335(2sin)2dt?8a?sindt令??)?16a?sin?d??32a?2sin5?d??32a3???a

00025315222(5)?Lxyds,其中L为圆周x2?y2?a2; 解:利用对称性??xyds?4?LL1?x?acos?xyds,其中L1:??y?asin??00????2

222xyds?4xyds?4xyds?4(acos?)(asin?)(?asin?)?(acos?)d? ?????LL1L1???4a3?20cos?sin?d??2asin?3220?2a3

(6)??1ttty?esintx?ecostz?e,其中为曲线,,上相应于t从0变到2的弧段; ds?222x?y?z2'2'211ttds??[?ecost?]?[?esint?]?e2tdt 解:?222222?x?y?z0?etcost???etsint???et??32?t3?2edt?(1?e) ?022??x2?y2?z2?2(7)??yds,其中?为空间圆周: ?:?.

??y?x??x2?y2?z2?2?x?cos?22解:由?,得2x?z?2,令?y?x???z?2sin?0???2?

?x?cos??故?:?y?cos???z?2sin?0???2?。故

2???yds???2?0cos?sin2??sin2??2cos2?d??2?3?22?20cos?d?

?0?2[?2cos?d????cos?d???3?cos?d?]?42

2?x?acost?1. 螺旋形弹簧一圈的方程为: ?y?asint (0?t?2?),设它的线密度为?(x,y,z)?x2?y2?z2,求:

?z?kt?(1) 它关于z轴的转动惯量Iz;(2)它的重心坐标. (1)Iz???xL2?y2??ds???x2?y2??x2?y2?z2?ds

L??a2?a2?k2t2?a2?k2dt?a2a2?k2?02?2?02222a?ktdt???3? a2a2?k2(3a2?4?2k2)

?(2)x???xLL2x?x?y?z?ds2222?y?z?ds22??2?0acost?a2?k2t2?a2?k2dt??a022?2?kt22?a?kdt22?a?kt?acostdt6ak???3a?4???a?kt?dt222202?222202?2k2(分子

采用分部积分法)

y?x?y?z?ds?asint?a?kt???y??x?y?zds?????a?kt?a22222?L0a2?k2dt22222222L0?k2dt?6? ak2?2 3a?4?2k2?z???xLLz?x2?y2?z2?ds2?y?z?ds22??2?00kt?a2?k2t2?a2?k2dt2??a2??k2t2?3?k(a2?2?2k2)= 222223a?4?ka?kdt§2 对坐标的曲线积分

无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程

1计算公式:若L:???x?x?t?t:???,(其中?,?分别始点和终点对应的参数),则 ??y?y?t????LP?x,y?dx?Q?x,y?dy??[P?x?t?,y?t??x'?t??Q?x?t?,y?t??y'?t?]dt

?x?x?t??若L:?y?y?t?t:???,(其中?,?分别始点和终点对应的参数),则

??z?z?t??P?x,y,z?dx?Q?x,y,z?dy?R?x,y,z?dz

L??[P?x?t?,y?t?,z?t??x'?t??Q?x?t?,y?t?,z?t??y'?t??R?x?t?,y?t?,z?t??z'?t?]dt

??注意:(1)对定向曲线才能说对坐标的曲线积;定向曲线的参数方程与未定向曲线的参数方程的不同:

① 定向曲线的参数表示为始点的参数到终点的参数而不管谁大谁小:t:???

② 未定向曲线的参数方程的参数表示为不等式:a?t?b (2)①弧长的积分转化为定积分时定积分的上限一定要大于下限

②对坐标的曲线积分转化为定积分时定积分的上限一定是终点的参数,下限是始点的参数,而不管上限是否一定要大于下限

2:两类曲线积分的关系

(1) 定向曲线的切向量及其方向余弦

??x?x?t?t:??? 若L:???y?y?t?①当???时,切向量为:x?t?,y?t?;方向余弦为cos??''??x'?t??x?t????y?t??'2'2,cos??y'?t??x?t????y?t??'2'2 ②当???时,切向量为:?x?t?,?y?t?;方向余弦为cos??''???x'?t??x?t????y?t??'2'2,cos???y'?t??x?t????y?t??'2'2 类似可以推广到空间曲线。 (2) 两类曲线积分的关系

?P?x,y?dx?Q?x,y?dy??[P?x,y?cos??Q?x,y?cos?]ds

LL其中cos?,cos?为定向曲线切向量的方向余弦

注意:把第二类曲线积分转化为第一类曲线积分其关键是求出切向量。特别要注意始点参数与终点参数大小关系对切向量符号的影响。

1. 把对坐标的曲线积分?LP(x,y)dx?Q(x,y)dy化为对弧长的曲线积分,其中L为: (1)从点(0,0)沿抛物线y?x2到点(1,1);

?x?x解:L:?2?y?xcos??11??2x?x:0?1,由0?1,故在?x,y?处切向量为?1,2x?,所以

?11?4x22,,cos??2x1??2x?2?2x1?4x2所以

?LP?x,y?dx?Q?x,y?dy??[P?x,y?cos??Q?x,y?cos?]ds??LP(x,y)?2xQ(x,y)1?4x2Lds

(2)从点(0,0)沿上半圆周x2?y2?2xy?0到点(1,1).

??x?x解:L:?2??y?2x?x?1?xx:0?1,由0?1,故在?x,y?处切向量为?1,2x?x2?1?x2x?x2?1?x?1???2?2x?x?L2??,所以 ?cos??1?1?x?1???2?2x?x?2?2x?x,cos??2?1?x,所以

?LP?x,y?dx?Q?x,y?dy??[P?x,y?cos??Q?x,y?cos?]ds??[2x?x2P(x,y)?(1?x)Q(x,y)]ds

L(或??[yP(x,y)?(1?x)Q(x,y)]ds)

L法二L:??x?1?cos???,?:??,由??,

22?y?sin?故切向量为??(?sin?),?cos??,即?sin?,?cos?? 所以

cos??sin??asin?????acos??L22?sin??y,cos???cos??sin?????cos??L22??cos??1?x,所以

?P?x,y?dx?Q?x,y?dy??[P?x,y?cos??Q?x,y?cos?]ds??[yP(x,y)?(1?x)Q(x,y)]ds

L2. 计算下列对坐标的曲线积分:

(1)?L(x2?y2)dx,其中L为抛物线y?x2上从点(0,0)到(2,4)的一段弧;

?x?x解:由L:?2?y?xx:0?2,得?(x2?y2)dx??(x2??x2?)dx??2L0256 15(2)?Lxy dx,其中L为圆周(x?a)2?y2?a2(a?0)及x轴所围成的在第一象限内的区域的整个边界曲线弧(按逆时针方向); 解:

??xy dx?(?LOA???AO?x?x?x?a?acos??)xydx,其中OA:?x:0?2a,AO:??:0?? y?0y?asin?a ??(注意此方程不是的极坐标方程,故不能说在极坐标系下?的范围?:0??,事实上极坐标方程为

r?2acos,?:0??2,故在极坐标系下?的范围为?:0??2)

O A ?OAxydx??x?0dx?0

02a??AOxydx???320a?acos??asin?d?a?cos????a??sin2??sin2?cos??d? ?003???22023故???a[2?sin?d???sin?cos?d?]??a(?0)???Lxy dx?0?(?2)??2 22(3)?L(1?2xy)dx?x2dy,L为从点(1,0)到点(-1,0)的上半椭圆周x2?2y2?1(y?0);

??a3?a3?a3?x?cos??解:由L:??:0??,得 2sin??y??2?L(1?2xy)dx?xdy??[1?2cos?(02?22sin?)](?sin?)?cos2?cos?]d? 222?3cos?d??cos?2?0?0???sin?d??2?sin2?cos?d??00???0?2?sin2?dsin??0?2?2(1?sin?)dsin? 2?0sin3???2?23(4)?L?02?sin3????sin???2?3???2?0?0??2

(x?y)dx?(x?y)dyx2?y2,其中L为圆周x2?y2?a2(按逆时针方向);

解:由L:??x?acos?(x?y)dx?(x?y)dy ?:0?2?,得?22?Lx?yy?asin????2?02?(acos??asin?)(?asin?)?(acos??asin?)acos?d????d???2?

0a2??x2?y2?1(5)??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?z)dz,其中?为椭圆周:?,且从z轴正方向看去,?取顺时针方向;

??x?y?z?2???x2?y2?1解:由? 得?:?y?sin???x?y?z?2?z?2?cos??sin???x?cos??:2??0,故

??(z?y)dx?(x?z)dy?(x?z)dz???[(4cos?202??sin2?)?4(cos??sin?)?cos?sin?d???3??0?0??3?

(注意:易知

?2?0cos2?d???sin2?d?,所以

02?

高等数学II第十章-曲线积分与曲面积分

第十章曲线积分与曲面积分§1对弧长的曲线积分计算公式:无论是对弧长还是对坐标的曲线积分重要的是写出曲线的参数方程若L:??b22?x?x?t?''???a?t?b,则?f?x,y?ds??f?x?t?,y?t???x?t????y?t??dt?La??y?y?t??x?x?t??若L:?y?y?t?a?t?
推荐度:
点击下载文档文档为doc格式
3npop7r59k6m3qp9xkwe9ersa9ps1u00x90
领取福利

微信扫码领取福利

微信扫码分享