第七章 真空中的静电场
7－1 在边长为a的正方形的四角，依次放置点电荷q,2q,-4q和2q，它的几何中心放置一个单位正电荷，求这个电荷受力的大小和方向。
解：如图可看出两2q的电荷对单位正电荷的在作用力 将相互抵消，单位正电荷所受的力为
q 2q
F?4??0(q22a)25q,方向由q指向-4q。 (1?4)＝22??0a2q -4q
7－2 如图，均匀带电细棒，长为L，电荷线密度为λ。（1）
习题7－1图
求棒的延长线上任一点P的场强；(2)求通过棒的端点与棒垂直上任一点Q的场强。
解：（1）如图7－2 图a，在细棒上任取电荷元dq，建立如图坐标，dq＝?d?，设棒的延长线上任一点P与坐标原点0的距离为x，则
dE??d?4??0(x??)2??d?4??0(x??)2
dq 0
则整根细棒在P点产生的电场强度的大小为
x P
习题7－2 图a
?
?E?4??0＝
?L0d??11?(?)
(x??)24??0x?Lx方向沿?轴正向。
d?
?L4??0x(x?L)（2）如图7－2 图b，设通过棒的端点与棒垂直上任一点Q与坐标原点0的距离为y
dE??dx 24??0rdE y
dEy??dxcos?，
4??0r2? ?dxdEx?sin? 24??0r因x?ytg?,dx?yy Q ?0 dq 0 d?y,r?，
cos2?cos?dx
P
习题7－2 图b
x
代入上式，则
Ex???dEx???4??0y?0???0sin?d?
??1(1?cos?0)＝?(?4??0y4??0yEy??dEy????cos?d?
4??0y?001y?L22)，方向沿x轴负向。
??Lsin?0＝
224??0y4??0yy?L7－3 一细棒弯成半径为R的半圆形，均匀分布有电荷q，求半圆中心O处的场强。
解：如图，在半环上任取dl=Rd?的线元，其上所带的电荷为dq=?Rd?。对称分析Ey=0。
dEx??Rd?sin?
4??0R2??sin? ?04??0Ry
E??dEx?d? R ? x
? dE ?? 2??0R?q2??0R22习题7－3图
，如图，方向沿x轴正向。
7－4 如图线电荷密度为λ1的无限长均匀带电直线与另一长度为l、线电荷密度为λ2
的均匀带电直线在同一平面内，二者互相垂直，求它们间的相互作用力。
解：在λ2的带电线上任取一dq，λ1的带电线是无限长，它在dq处产生的电场强度由高斯定理容易得到为，
E??1
2??0xλ1 0 a dq λ2 两线间的相互作用力为 x 习题7－4图
??dx??F??dF??12?122??0x2??0dx?ax
l?1?2a?lln,如图，方向沿x轴正向。 2??0a7－5 两个点电荷所带电荷之和为Q，问它们各带电荷多少时，相互作用力最大？ 解：设其中一个电荷的带电量是q，另一个即为Q－q，若它们间的距离为r，它们间的相互作用力为
F?相互作用力最大的条件为
q(Q?q)
4??0r2dFQ?2q??0 dq4??0r2由上式可得：Q=2q，q=Q/2
7－6 一半径为R的半球壳，均匀带有电荷，电荷面密度为σ，求球心处电场强度的大小。
解：将半球壳细割为诸多细环带，其上带电量为
y dq??2?rRd???2?R2sin?d?
dq在o点产生的电场据（7－10）式为
dE?ydq，y?Rcos?
4??0R3o ?r ? 习题7－6图 3?2?Rsin?E??dE??0cos?d? 304??0R??2?0???00?sin?sin?d(sin?)?2?02220??。如图，方向沿y轴负向。 4?07－7 设匀强电场的电场强度E与半径为R的半球面对称轴平行，计算通过此半球面电场强度的通量。
解：如图，设作一圆平面S1盖住半球面S2， 成为闭合曲面高斯，对此高斯曲面电通量为0，
S2 S1 E
习题7－7图
大学物理第7章真空中的静电场答案
