正弦定理和余弦定理
1．1.1 正弦定理
预习课本P2～3，思考并完成以下问题 (1)直角三角形中的边角之间有什么关系？ (2)正弦定理的内容是什么？利用它可以解哪两类三角形？ (3)解三角形的含义是什么？ [新知初探]
1．正弦定理
在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即[点睛] 正弦定理的特点
(1)适用范围：正弦定理对任意的三角形都成立．
abc＝＝. sin Asin Bsin C
(2)结构形式：分子为三角形的边长，分母为相应边所对角的正弦的连等式． (3)刻画规律：正弦定理刻画了三角形中边与角的一种数量关系，可以实现三角形中边角关系的互化．
2．解三角形
一般地，把三角形的三个角A，B，C和它们的对边a，b，c叫做三角形的元素，已知三角形的几个元素求其他元素的过程叫做解三角形．
[小试身手]
1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)正弦定理适用于任意三角形( )
(2)在△ABC中，等式bsin A＝asin B总能成立( ) (3)在△ABC中，已知a，b，A，则此三角形有唯一解( ) 解析：(1)正确．正弦定理适用于任意三角形．
ab
(2)正确．由正弦定理知＝，即bsin A＝asin B.
sin Asin B
(3)错误．在△ABC中，已知a，b，A，此三角形的解有可能是无解、一解、两解的情况，具体情况由a，b，A的值来定．
答案：(1)√ (2)√ (3)× 2．在△ABC中，下列式子与b
A. csin CC.
c
解析：选C 由正弦定理得，sin Asin C所以a＝c. 3．在△ABC中，已知A＝30°，B＝60°，a＝10，则b等于( ) A．52 103C.
3
B．103 D．56
sin A
的值相等的是( ) a
sin BB. sin Ac D. sin C
ac＝， sin Asin C
解析：选B 由正弦定理得，b＝
asin B
＝sin A
10×12
32
＝103.
π
4．在△ABC中，A＝，b＝2，以下错误的是( )
6A．若a＝1，则c有一解 4
C．若a＝，则c无解
5
B．若a＝3，则c有两解 D．若a＝3，则c有两解
π解析：选D a＝2 sin＝1时，c有一解；当a<1时，c无解；当1 6解；a>2时，c有一解．故选D. 已知两角及一边解三角形 [典例] 在△ABC中，已知a＝8，B＝60°，C＝75°，求A，b，c. [解] A＝180°－(B＋C)＝180°－(60°＋75°)＝45°， baasin B8×sin 60° 由正弦定理＝，得b＝＝＝46， sin Bsin Asin Asin 45°acasin C8×sin 75°＝，得c＝＝＝sin Asin Csin Asin 45° 8× 2＋6 4 ＝4(3＋1)． 22 由 已知三角形任意两角和一边解三角形的基本思路 (1)由三角形的内角和定理求出第三个角． (2)由正弦定理公式的变形，求另外的两条边． [注意] 若已知角不是特殊角时，往往先求出其正弦值(这时应注意角的拆并，即将非特殊角转化为特殊角的和或差，如75°＝45°＋30°)，再根据上述思路求解． [活学活用] 在△ABC中，若A＝60°，B＝45°，BC＝32，则AC＝( ) A．43 C.3 B．23 D. 3 2 BCACAC32322 解析：选B 由正弦定理得，＝，即＝，所以AC＝×＝ sin Asin Bsin 60°sin 45°23 223，故选B. 已知两边及其中一边的对角解三角形 [典例] 在△ABC中，a＝3，b＝2，B＝45°，求A，C，c. 323 [解] 由正弦定理及已知条件，有＝，得sin A＝. sin Asin 45°2∵a>b，∴A>B＝45°.∴A＝60°或120°. 当A＝60°时，C＝180°－45°－60°＝75°，c＝ 2sin 75°6＋2bsin C ＝＝； sin B2sin 45°2sin 15°6－2bsin C ＝＝. sin B2sin 45° 当A＝120°时，C＝180°－45°－120°＝15°，c＝综上可知：A＝60°，C＝75°，c＝ 6＋26－2 或A＝120°，C＝15°，c＝. 22 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值． (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的角为锐角，由正弦值可求锐角唯一． (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要分类讨论． [活学活用] 在△ABC中，c＝6，C＝60°，a＝2，求A，B，b. 解：∵ acasin C2 ＝，∴sin A＝＝. csin Asin C2 ∴A＝45°或A＝135°. 又∵c>a，∴C>A.∴A＝45°. ∴B＝75°，b＝ 6·sin 75°csin B ＝＝3＋1. sin Csin 60° 三角形形状的判断 ππ －A?＝bcos?－B?，判断△ABC的形状． [典例] 在△ABC中，acos??2??2?解：[法一 化角为边] ππ －A?＝bcos?－B?， ∵acos??2??2? ab ∴asin A＝bsin B．由正弦定理可得：a·＝b·， 2R2R∴a2＝b2，∴a＝b，∴△ABC为等腰三角形． [法二 化边为角] ππ －A?＝bcos?－B?， ∵acos??2??2?∴asin A＝bsin B. 由正弦定理可得：2Rsin2A＝2Rsin2B，即sin A＝sin B， ∴A＝B.(A＋B＝π不合题意舍去) 故△ABC为等腰三角形． 利用正弦定理判断三角形的形状的两条途径 (1)化角为边．将题目中的所有条件，利用正弦定理化角为边，再根据多项式的有关知．．．．．识(分解因式、配方等)得到边的关系，如a＝b，a2＋b2＝c2等，进而确定三角形的形状．利用的公式为：sin A＝abc，sin B＝，sin C＝. 2R2R2R(2)化边为角．将题目中所有的条件，利用正弦定理化边为角，再根据三角函数的有关．．．．．知识得到三个内角的关系，进而确定三角形的形状．利用的公式为：a＝2Rsin A，b＝2Rsin B，c＝2Rsin C． [活学活用] 在△ABC中，已知acos A＝bcos B，试判断△ABC的形状． 解：由正弦定理， abc ＝＝＝2R，所以acos A＝bcos B可化为sin A cos A＝sin Asin Bsin C sin Bcos B，sin 2A＝sin 2B，又△ABC中，A，B，C∈(0，π)，所以2A＝2B或2A＋2B＝π，π 即A＝B或A＋B＝，所以△ABC的形状为等腰或直角三角形． 2 层级一 学业水平达标 1．在△ABC中，a＝5，b＝3，则sin A∶sin B的值是( )
【人教A版】2017-2018学年高中数学三维设计：必修5全套精品讲义(含答案)
